Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems

03.06.2021, 18:57	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems Ich habe das folgende Gleichungssytem: $\begin{eqnarray} <br /> 0=\sin{(\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}-\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}})}-y(\sin{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}-\sin{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}})-x(\cos{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}-\cos{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 0=\frac{4}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\left(\cos{\left(\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}-\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\right)}-y\cos{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}+x\sin{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}\right)-\frac{1}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}\left(\cos{\left(\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}-\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\right)}-y\cos{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}}+x\sin{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}}\right)<br /> \end{eqnarray}$ Gibt es eine Möglichkeit, das Gleichungssystem so aufzulösen, dass die Variable $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ verschwindet und wir eine Gleichung erhalten, die nur noch von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ abhängt? Können hierfür Approximationen wie etwa sawtooth hilfreich sein? Der Hintergrund bzw. die Idee besteht darin, eine nur von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ abhängige Kurvengleichung zu erhalten. Es sei angemerkt, dass diese Kurve einem Cardioid ähnelt. Über jeden Hinweis, wie man dieses Gleichungssystem so auflöst, dass man den Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ eliminiert, wäre ich sehr dankbar.
06.06.2021, 11:39	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems Sorry, aber dies sieht ja fürchterlich aus ! Woher kommt denn dieses Ungeheuer von Gleichungssystem ? Wenn man wüsste, wie das Ganze zustande gekommen ist, könnte man vielleicht auch ein Rezept zur Vereinfachung finden.
06.06.2021, 11:54	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems Ich sehe das genau so und war da unzufrieden. Habe deshalb schon mich zu einer Vereinfachung vorgekämpft: Im Intervall $\begin{eqnarray} [e^k,e^{k+1}[ \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lfloor\ln(x)\rfloor=k \end{eqnarray}$ konstant und gilt die folgende vereinfachte parametrisierte Form: $\begin{eqnarray} <br /> F_a(x,y,t)=\sin{\frac{(a-2)\pi t}{2}}+y\sin{(\pi t)}-y\sin{\frac{a\pi t}{2}}+x\cos{(\pi t)}-x\cos{\frac{a\pi t}{2}}=0<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial F_a}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\pi}{2}\bigg(a-2)\cos{\frac{(a-2)\pi t}{2}}+2y\cos{(\pi t)}-ay\cos{\frac{a\pi t}{2}}-2x\sin{(\pi t)}+ax\sin{\frac{a\pi t}{2}}\bigg)=0<br /> \end{eqnarray}$ Der einfachte Fall $\begin{eqnarray} a=4 \end{eqnarray}$ liefert eine Cardioid-ähnliche Hüllkurve (aus der ursprünglichen Frage) und hat das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} <br /> F(x,y,t)=(y+1)\sin{(\pi t)}-y\sin{(2\pi t)}+x\cos{(\pi t)}-x\cos{(2\pi t)}=0<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=\pi\left(\left(1+y\right)\cos{(\pi t)}-2y\cos{(2\pi t)}-x\sin{(\pi t)}+2x\sin{(2\pi t)}\right)=0<br /> \end{eqnarray}$ Das ist zwar schon eine immense vereinfachung, dennoch schaffe ich es aber immer noch nicht, beide Gleichungen durch Eliminierung des Parameters $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zusammenzuführen und wäre da über jede Hilfe dankbar. Vielleicht kann man auf Basis dieser Vereinfachung eine nur von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ abhängige Kurvengleichung ermitteln? Spielt man mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erhält man unterschiedliche anschauliche Kurven: https://i.stack.imgur.com/RByNw.png
06.06.2021, 15:13	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems Zuerst hatte ich nicht einmal gemerkt, dass da auch noch Gauß-Klammern drin stecken - ich sah einfach gewöhnliche Betragsstriche. Meine grundlegende Frage bleibt aber: Aus welchem inhaltlichen oder geometrischen Zusammenhang ist denn das Gleichungssystem hervorgegangen ? Ob ich mir das Ganze nun nochmals genauer anschauen soll, überlege ich mir noch ...
06.06.2021, 15:38	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines trigonometrischen Gleichungssystems Die inhaltliche / geometrische Idee ist die Folgende (es ist ein Gedankenexperiment): Wir generalisieren Cardioid-ähnliche Kurven mittels der Parametergleichung: $\begin{eqnarray} r(t)=(x(t),y(t))=(-\sin{t},\cos{t}) \end{eqnarray}$ und führen zwei reelle Funktionen ein $\begin{eqnarray} f(x)=4x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{x}{2^{\lfloor\ln(x)\rfloor}} \end{eqnarray}$ Mittels Iteration von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ erzeugen wir Linien (Tangenten der Hüllkurve), die zwei Punkte $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ passieren: $\begin{eqnarray} P_1=(x_{P_1},y_{P_1})=r(2\pi\cdot g(t))) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_2=(x_{P_2},y_{P_2})=r(2\pi\cdot g\circ f(t)) \end{eqnarray}$ Anmerkung: $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ ist eine rechst-nach-links-Komposition der Funktionen. Ich hoffe, ich konnte den geometrischen Hintergedanken dabei gut skizzieren und antworte bei weiteren Fragen jederzeit sehr gern. Meine Hoffnung ist, das vereinfachte parametrisierte Gleichungssystem wirklich auf die Variablen $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ zu komprimieren. Interessant ist, dass man wirklich über die Intervalle $\begin{eqnarray} [e^k,e^{k+1}[ \end{eqnarray}$ die Kurven extrem vereinfachen kann.

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