Stetigkeit Funktionenfolge

04.06.2021, 11:56	matheissuper99	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Funktionenfolge Meine Frage: f_n,f sind definiert von [0,1]->R mit der Maximumsmetrik IIf_n-fII<1/n Wenn alle f_n stetig sind dann ist auch f stetig. Warum ist diese Aussage richtig/falsch? Meine Ideen: Als Vorraussetzung ist die Stetigkeit für alle f_n gegeben. Es gibt also nach Def für alle x aus [0,1] Funktionswerte von konvergenten Folgen, so dass diese gegen f(x) konvergieren. Nach Intuition ist die Aussage richtig, weil das Intervall ja abgeschlossen ist und ich partout kein Gegenbeispiel finde, bin mir da aber sehr unsicher.
04.06.2021, 22:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Funktionenfolge Gegenbeispiele sind schwer zu finden, die Aussage ist nämlich wahr! Du willst zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} x \in I, \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, dass $\begin{eqnarray} \|x-y\| <\delta \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(y)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Für die Abschätzung nach oben bietet sich dann an: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(y)\| \leq \|f(x) - f_n(x)\| + \|f_n(x) - f_n(y)\| + \| f_n(y) - f(y) \| \end{eqnarray}$ .

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