Lösen eines trigonometrischen (Differenzial-)Gleichungssystems

04.06.2021, 13:34	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen eines trigonometrischen (Differenzial-)Gleichungssystems Ich habe das folgende Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} <br /> 0=\sin{(\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}-\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}})}&-y(\sin{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}-\sin{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}})-x(\cos{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}-\cos{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 0=\frac{4}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\left(\cos{\left(\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}-\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\right)}-y\cos{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}+x\sin{\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}}\right)-\frac{1}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}\left(\cos{\left(\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}-\frac{2\pi4t}{2^{\lfloor\ln{4t}\rfloor}}\right)}-y\cos{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}}+x\sin{\frac{2\pi t}{2^{\lfloor\ln{t}\rfloor}}}\right)<br /> \end{eqnarray}$ Gibt es eine Möglichkeit, das Gleichungssystem so aufzulösen, dass die Variable $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ verschwindet und wir eine Gleichung erhalten, die nur noch von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ abhängt? Können hierfür Approximationen wie etwa sawtooth hilfreich sein? Der Hintergrund bzw. die Idee besteht darin, eine nur von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ abhängige Kurvengleichung zu erhalten. Es sei angemerkt, dass diese Kurve einem Cardioid ähnelt. Über jeden Hinweis, wie man dieses Gleichungssystem so auflöst, dass man den Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ eliminiert, wäre ich sehr dankbar. Anmerkung: Etwas allgemeiner kann ich das Gleichungssystem auch so formulieren (wobei $\begin{eqnarray} f(x)=4x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{x}{2^{\lfloor\ln(x)\rfloor}} \end{eqnarray}$ ist): $\begin{eqnarray} <br /> 0=\sin{(2\pi(g\circ f(t)-g(t)))}&-y(\sin{(2\pi g\circ f(t))}-\sin{(2\pi g(t))})-x(\cos{(2\pi g\circ f(t))}-\cos{(2\pi g(t))})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 0=f'(t)g'\circ f(t)&\left(\cos{\left(2\pi(g\circ f(t)-g(t))\right)}-y\cos{\left(2\pi g\circ f(t)\right)}+x\sin{\left(2\pi g\circ f(t)\right)}\right)-g'(t)&\left(\cos{\left(2\pi(g\circ f(t)-g(t))\right)}-y\cos{\left(2\pi g(t)\right)}+x\sin{\left(2\pi g(t)\right)}\right)<br /> \end{eqnarray}$

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