Matrix-Gleichung beide Seiten invertieren

04.06.2021, 15:25	Peter456	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix-Gleichung beide Seiten invertieren Meine Frage: Hallo, wenn ich eine Matrix-Gleichung habe, welche drei quadratische, invertierbare Matrizen enthält (A,B und C). Kann man dann einfach auf beiden Seiten invertieren wie: AB=C $\begin{eqnarray} A^{-1}B^{-1}=C^{-1} \end{eqnarray}$ Ist es außerdem möglich die Seiten zu tauschen wie: AB=C C=AB Meine Ideen: Ich denke, es müsste gehen, da beide Seiten identisch sind.
04.06.2021, 15:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} AB=C\Leftrightarrow C=AB \end{eqnarray}$ ist richtig aber $\begin{eqnarray} (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I \end{eqnarray}$ und wie es sein muss ist die Rechtsinverse auch die Linksinverse und heißt deshalb auch einfach Inverse $\begin{eqnarray} (B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I \end{eqnarray}$ und ist eindeutig bestimmt und im allgemeinen von $\begin{eqnarray} A^{-1}B^{-1} \end{eqnarray}$ verschieden.

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