Taylorpolynom Restglied

05.06.2021, 20:28

tornadokick

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Taylorpolynom Restglied

Gehen wir mal davon aus, $\begin{eqnarray*} g(x) = \ln(x+1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g: \ ]0, \infty[ \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_1(x) = -\frac{1}{2(\xi+1)^2}x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2(x)=\frac{2}{6(\xi+1)^3}x^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen x und 0.

Also Taylorpolynom bzgl. des Entwicklungspunkt 0.

Meine Frage ist, wie ich das abschätzen muss. Da x in dem Fall bis unendlich gehen kann, kann ich ja nicht einfach unendlich für x einsetzen. Weiß irgendwie nicht, wie ich das ganze machen kann.

05.06.2021, 20:39

Mathpro

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Das ist nicht lösbar.

05.06.2021, 21:07

tornadokick

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Was meinst du denn? Hast du überhaupt meine Fragestellung verstanden?

Ich soll folgende Ungleichung zeigen: $\begin{eqnarray*} x- \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ .

Mit Taylorpolynom: $\begin{eqnarray*} T_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ , hab die Teile bestimmt und halt die Restglieder, ist es jetzt vielleicht verständlicher?

05.06.2021, 21:10

Mathpro

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Nö

05.06.2021, 21:59

tornadokick

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Danke für nichts. smile

smile

05.06.2021, 22:48

klauss

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Zitat:

Original von tornadokick
Was meinst du denn? Hast du überhaupt meine Fragestellung verstanden?

Ich soll folgende Ungleichung zeigen: $\begin{eqnarray*} x- \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ .

Nun, Mathpro hat zwar nichts zur Lösung beigetragen, aber immerhin hattest Du diese Aufgabenstellung in Deinem 1. Beitrag noch gar nicht erwähnt.

Vorauszuschicken ist, dass man $\begin{eqnarray*} \ln(x+1) \end{eqnarray*}$ zwar auf $\begin{eqnarray*} ]0;\infty[ \end{eqnarray*}$ definieren kann, aber die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt 0 nur den Konvergenzradius 1 hat. Ich beschränke meine Überlegungen daher auf das Intervall $\begin{eqnarray*} ]0;1[ \end{eqnarray*}$ und lasse offen, inwieweit diese außerhalb davon gültig sein könnten.

Auf jeden Fall glaube ich, dass Du schon 1 Grad zu hoch gegriffen hast.
Die Taylorreihe lautet
$\begin{eqnarray*} \ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+... \end{eqnarray*}$
also kann man mit Restgliedformel gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} \ln(x+1)=\frac{1}{\xi_{1}+1}x=x-\frac{1}{2\left(\xi_{2}+1\right)^{2} }x^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi_{1}, \xi_{2} \in ]0;x[ \end{eqnarray*}$ ,

Da das wahre $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ nun echt positiv ist, kannst Du die beiden Restgliedtermine gegen $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ abschätzen, dann sollte die zu zeigende Ungleichung schon dastehen.

Edit: Index für die beiden $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ergänzt.

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05.06.2021, 22:58

tornadokick

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Zitat:

Original von klauss
Vorauszuschicken ist, dass man $\begin{eqnarray*} \ln(x+1) \end{eqnarray*}$ zwar auf $\begin{eqnarray*} ]0;\infty[ \end{eqnarray*}$ definieren kann, aber die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt 0 nur den Konvergenzradius 1 hat. Ich beschränke meine Überlegungen daher auf das Intervall $\begin{eqnarray*} ]0;1[ \end{eqnarray*}$ und lasse offen, inwieweit diese außerhalb davon gültig sein könnten.

Ich habe den Satz mal fettgedruckt, den ich nicht ganz verstehe. Wie genau meinen Sie das?

05.06.2021, 23:23

klauss

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RE: Taylorpolynom Restglied
Das heißt, dass die Taylorreihe für x > 1 divergent ist und sich die Logarithmusfunktion dort nicht durch ihre Taylorreihe darstellen läßt. Das sollte bekannt sein, wenn Du die Taylorreihe für die Aufgabe benutzt. Die Ungleichung gilt zwar auch für x > 1, aber dafür sollte man sicher Zusatzüberlegungen anstellen.

06.06.2021, 07:33

Huggy

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Zitat:

Original von tornadokick
Ich soll folgende Ungleichung zeigen: $\begin{eqnarray*} x- \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ .

Um das zu zeigen, musst du nur die Vorzeichen der Restglieder betrachten.

06.06.2021, 07:55

tornadokick

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Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = T_1(x) + R_1(x) \ \text{und} \ f(x) = T_2(x) + R_2(x) \end{eqnarray*}$ . Also:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x -\frac{1}{2(\xi+1)^2}x^2 \ \text{und} \ f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2}{6(\xi+1)^3}x^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen x und 0.

Ich habe nochmals die Restglieder bestimmt und komme tatsächlich immer noch das. verwirrt

verwirrt

Da x bis unendlich gehen kann, kann ich nicht einfach Abschätzung starten, also für die Restglieder. Ich bin echt überfragt, das Thema ist sehr kompliziert.

06.06.2021, 08:08

Huggy

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Zitat:

Original von tornadokick
$\begin{eqnarray*} f(x) = x -\frac{1}{2(\xi+1)^2}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(\xi+1)^2}x^2>0 \rightarrow f(x)<x \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2}{6(\xi+1)^3}x^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen x und 0.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6(\xi+1)^3}x^3>0 \rightarrow x - \frac{x^2}{2}<f(x) \end{eqnarray*}$

06.06.2021, 08:37

tornadokick

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Ahh verstanden danke,

kann man diese Ungleichung auch mit dem Mittelwertsatz zeigen? verwirrt

verwirrt

06.06.2021, 08:40

tornadokick

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Meine das hier: $\begin{eqnarray*} x- \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x \end{eqnarray*}$

06.06.2021, 08:45

Huggy

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Welche Idee hast du da bezüglich des Mittelwertsatzes?

06.06.2021, 09:16

tornadokick

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Ich habs hinbekommen, aber nur die rechte Ungleichung zu zeigen, also mit dem MWS. Freude

Freude

06.06.2021, 09:32

Leopold

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Man kann auch mit Schulmathematik darangehen. Man bildet für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ die Differenzfunktionen

$\begin{align*} u_1(x) = x - \ln(1+x) \end{align*}$

$\begin{align*} u_2(x) = \ln(1+x) - x + \frac{1}{2} x^2 \end{align*}$

Mit Hilfe ihrer Ableitungen zeigt man: Die $\begin{align*} u_k \end{align*}$ sind für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ streng monoton wachsend. Wegen $\begin{align*} u_k(0) = 0 \end{align*}$ folgt insbesondere $\begin{align*} u_k(x)>0 \end{align*}$ für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ .

Spezielle Werkzeuge wie der Mittelwertsatz sind nicht nötig.

06.06.2021, 09:42

tornadokick

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Dürfte ich fragen, wieso aus dem Monotoniekriterium, jetzt bezogen auf linke Ungleichung, das folgt?

Also, wenn die Differenzfunktion (Wieso bildet man die?) streng monoton steigend ist, wieso kann man dann auf die Ungleichung x-x^2/2 < ln(1+x) schließen? verwirrt

verwirrt

06.06.2021, 09:50

Leopold

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Warum man die Differenzfunktion bildet:

$\begin{align*} A > B \ \ \Leftrightarrow \ \ A-B > 0 \end{align*}$

Und wenn man mit 0 beginnt und ansteigt, dann bleibt man immer oberhalb von 0.

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