Warum schneidet die Außenwinkelhalbierende den Ankreismittelpunkt?

06.06.2021, 10:03

TakingTheL

Warum schneidet die Außenwinkelhalbierende den Ankreismittelpunkt?

Meine Frage:
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit dem WInkel ACB. Die Außenwinkelhalbierende von diesem Winkel schneidet immer den Mittelpunkt von zwei Ankreisesn. ABer warum?

Meine Ideen:
Mir ist kein konkreter Beweisansatz eingefallen, außer, dass das einfach die Definition ist(?). Auch habe ich daran gedacht, dass eine Außenwinkelhalbierende den gleichen Abstand zu den Dreiecksseiten hat.

06.06.2021, 10:29

Leopold

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RE: Warum schneidet die Außenwinkelhalbierende den Ankreismittelpunkt?

Zitat:

Original von TakingTheL
Auch habe ich daran gedacht, dass eine Außenwinkelhalbierende den gleichen Abstand zu den Dreiecksseiten hat.

Das ist es.

Nennen wir die Winkel wie üblich $\begin{align*} \alpha, \beta, \gamma \end{align*}$ und die jeweils gegenüberliegenden Dreiecksgeraden $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ .

$\begin{align*} w_{\alpha}, w_{\beta}, w_{\gamma} \end{align*}$ seien die Winkelhalbierenden und $\begin{align*} v_{\alpha}, v_{\beta}, v_{\gamma} \end{align*}$ die Außenwinkelhalbierenden von $\begin{align*} \alpha, \beta, \gamma \end{align*}$ . Wir betrachten den Schnittpunkt $\begin{align*} A' \end{align*}$ von $\begin{align*} w_{\alpha} \end{align*}$ und $\begin{align*} v_{\gamma} \end{align*}$ .

1. Da $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} v_{\gamma} \end{align*}$ liegt, sind die Lotstrecken von $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ gleichlang.

2. Da $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} w_{\alpha} \end{align*}$ liegt, sind die Lotstrecken von $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ gleichlang.

Also sind alle Lotstrecken von $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ gleichlang. Die gemeinsame Länge der Lotstrecken heiße $\begin{align*} \varrho_a \end{align*}$ . Insbesondere besitzen die Lote von $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ die Länge $\begin{align*} \varrho_a \end{align*}$ . Daher liegt $\begin{align*} A' \end{align*}$ auf $\begin{align*} v_{\beta} \end{align*}$ .

$\begin{align*} A' \end{align*}$ liegt daher zugleich auf $\begin{align*} w_{\alpha}, v_{\gamma}, v_{\beta} \end{align*}$ . Ein Kreis um $\begin{align*} A' \end{align*}$ mit dem Radius $\begin{align*} \varrho_a \end{align*}$ geht daher durch die Lotfußpunkte der erwähnten drei Lotstrecken. Damit ist $\begin{align*} A' \end{align*}$ der Mittelpunkt des Ankreises von $\begin{align*} a \end{align*}$ .

06.06.2021, 11:16

Mathema

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Eine Argumentation über kongruente Dreiecke:

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