Lineare Hülle und Basis

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SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Hülle und Basis
Meine Frage:
Gegeben seien folgende Familie von Vektoren des R hoch 3 über R.
(siehe Bild)
Bestimmen Sie für die zugehörigen linearen Hüllen (span von den einzelnen Vektoren) jeweiles eine Basis

Meine Ideen:
Wenn ich es nicht falsch verstehen, hat die erste Vektorfamilie
{(2,3,0),(-2,-3,0)} und der Span wäre dann (x,y,0) Element von R hoch 3 oder ?
Und dann nehme ich mir drei Vektoren aus (x,y,0), die die Eigenschaften für eine Basis erfüllen?
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Hab das Bild vergessen... [attach]53161[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Zitat:
Original von SickboyT2
Wenn ich es nicht falsch verstehen, hat die erste Vektorfamilie
{(2,3,0),(-2,-3,0)}

Gehört wirklich zu der ersten Vektorfamilie? Für welches bekommst du ihn?

Und wenn er dazu gehört, ist dann der span =?
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Na, wenn t = 1 ist und cos(1 * pi) = -1 ? Dann ja nur noch mal -1 mit dem Vektor.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Richtig.
Inzwischen hatte ich die eigentlich Frage hinzueditiert, nämlich bezüglich des span.
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Achso, beim Span hätte ich
(2x-3y, 3x-3y,0)
und seien x,y Element der Reellen Zahlen
(ich weis nicht was ich falsch aber das LaTex geht bei mir nicht)
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Nein. Wie ist denn der span definiert?
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
[attach]53162[/attach]
Hier. Die Vektorfamilie in der Aufgabe werden addiert und davor Skalarmultipliziert
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Richtig. Die Vektoren der Familie werden mit Skalaren multipliziert und dann addiert. Du multipliziert aber immer den ganzen Vektor mit einem Skalar, nicht eine seiner Komponenten. Der span der ersten Familie sind also alle Vektoren der Form



mit . Und das lässt sich noch vereinfachen, weil die beiden Vektoren schon linear abhängig sind.
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Achso, aber dann steht ich auf dem Schlauch im Skript steht bei uns das es auch einzeln geht.

[attach]53163[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Ja schon. Man kann den Skalar in den Vektor hineinziehen. Dann wird aber jede Komponente mit demselben Skalar multipliziert. Wie willst du so auf



mit beliebigem kommen?
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Gute frage, also ist der Span doch nur (x,y,0), aber x und y sind nicht beliebig ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Der span ist simpel



mit , denn



mit .
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Ah ok, dann der Span ja eine gerade im Koordinatensystem. Wie kann man denn ein Basis entnehmen die Linear Unabhängig ist ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Die Antwort habe ich dir im Prinzip schon gegeben. Die Familie besteht nur aus 2 Vektoren und die sind auch noch linear abhängig. Die Basis besteht also nur aus einem Vektor. Da kann man einen der beiden Vektoren aus der Familie nehmen oder sonst einen beliebigen Vektor aus dem span, natürlich mit Ausnahme des Nullvektors.
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Alles klar, da hab ich mich wohl falsch informiert. Ich hab gelesen das die Basis auch noch abhängig von der Dimension ist, deshalb dachte ich bräuchte 3 Vektoren
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Die Basis ist schon abhängig von der Dimension des span, der ja ein Untervektorraum ist. Da hier der Untervektorraum die Dimension 1 hat, besteht die Basis auch nur aus einem Vektor. Die Basis würde aus 3 Vektoren bestehen wenn der span identisch mit dem Gesamtraum wäre.
SickboyT2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Ah Danke für die Hilfe ^^


Mfg
Nick
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Hülle und Basis
Du musst jetzt noch herausfinden, ob und was sich bei den beiden anderen Familien ändert.
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