Determinante einer reellen Matrix |
06.06.2021, 19:05 | Mathe^99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Determinante einer reellen Matrix Hallo, ich wiederhole nochmal Stoff aus dem 1. Semester. Und ich kann mir folgendes nicht mehr beantworten: Wieso gilt nochmal: A sei eine reelle n x n Matrix. Wieso ist die Determinate gleich dem konstanten Faktor des charakteristischen Polynoms? Meine Ideen: Vielen Dank! |
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06.06.2021, 19:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eventuell nichttrivial ? Klar für Jordannormalform ? Dann klar, weil A ähnlich zur JNF, und weil ähnliche Matrizen dieselbe Determinante haben. Vielleicht hat eine Kollegin einen einfacheren Beweis ? |
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06.06.2021, 19:31 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das charakteristische Polynom ist definiert durch , wobei die Einheitsmatrix ist. Für jedes Polynom ist der konstante Faktor (weil alle anderen Summanden verschwinden) und offenbar ist auch |
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07.06.2021, 08:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was machen wir dann, wenn wir das charakteristische Polynom durch als normiertes Polynom definiert haben? |
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07.06.2021, 09:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist halt . |
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07.06.2021, 11:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist wohl so, kann aber Mathe^99 nicht ganz zufriedenstellen. |
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07.06.2021, 21:34 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass die Aussage so im Skript steht, heißt implizit dass es wohl nicht normiert festgelegt wurde. Ansonsten wie Leopold gesagt hat, würde eine leicht andere Aussage folgen. "Für gerade ist es das konstante Glied des charakteristischen Polynoms, für ungerade das konstante Glied mit verdrehtem Vorzeichen". Geht nicht so ganz leicht von der Zunge. |
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08.06.2021, 10:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das konstante Glied des charakteristischen Polynoms ist betragsgleich der Determinante der Matrix. (Das ist allerdings eine schwächere Aussage.) |
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08.06.2021, 10:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist am charakteristischen Polynom wichtig? Doch die Nullstellen. Was ist bei einer Determinante wichtig? Doch ihr Verschwinden oder Nichtverschwinden. Und für diese beiden wichtigsten Anwendungen kommt es auf das Vorzeichen nicht an. |
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08.06.2021, 11:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wichtig, dass das charakteristische Polynom die Matrix annulliert und so die Existenz des Minimalpolynoms garantiert. Man kann gar nicht aufzählen, was noch alles wichtig ist ... jetzt höre ich aber auf, damit du mir nicht grollst. |
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08.06.2021, 14:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie könnte ich dem King of Rock'n Roll grollen! Nur ist es so, daß es auch beim Annullieren genügt, das charakteristische Polynom bis auf Einheiten des Polynomrings als Faktoren eindeutig anzugeben. |
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