Beweisfunktion

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tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisfunktion
Gegeben sei eine Funktion mit , für alle . Zeigen Sie, dass f konstant ist.


Ich hatte mir überlegt zu zeigen, dass die Ableitung von f null ist und zwar für x,y aus R. Aber weiß nicht, wie ich das genau anstelle.

Danke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine existente Ableitung anzunehmen ist heikel - man sollte versuchen, ohne Ableitung auszukommen, z.B. ganz elementar so:


Angenommen, ist nicht konstant. Dann gibt es reelle Zahlen mit und mit .

Für beliebiges festes betrachten wir die gleichabständigen Stellen für . Offenbar gibt es dann mindestens einen Index mit , denn andernfalls hätte man einen Widerspruch zur Dreiecksungleichung. Für dieses gilt dann somit laut Voraussetzung

, umgestellt .

Das kann unmöglich für alle natürlichen gelten, denn die rechte Seite ist eine positive Konstante.


P.S.: Dem Beweis sieht man an, dass man die Voraussetzung durch mit beliebigem statt wie oben ersetzen kann.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

danke für die ausführliche Erklärung, allerdings verstehe ich folgenden Teil nicht:

Zitat:
Original von HAL 9000
Für beliebiges festes betrachten wir die gleichabständigen Stellen für . Offenbar gibt es dann mindestens einen Index mit , denn andernfalls hätte man einen Widerspruch zur Dreiecksungleichung. Für dieses gilt dann somit laut Voraussetzung

, umgestellt .



Die Voraussetzungen sind klar, aber irgendwie kann ich den folgenden Überlegungen nicht ganz folgen.


PS:

Ich habe übrigens versucht weiter zu machen:

Seien mit , dann gilt nach V.R:





An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal nur noch auf die Begründung dieser Aussage

Zitat:
Original von tornadokick
Offenbar gibt es dann mindestens einen Index mit , denn andernfalls hätte man einen Widerspruch zur Dreiecksungleichung.

ein - der Rest des Beweises ist m.E. bereits ausführlichst erläutert:


Angenommen, für alle gilt , dann folgt mit Dreiecksungleichung

, Widerspruch.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich erstmal eine Weile darüber nachdenken. Mir gings eher allgemein um die Betrachtung der gleichabständigen Stellen. Versuche mir die Dinge immer visuell vorzustellen.

Trotzdem danke wirklich für die Erläuterungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal salopp formuliert:

Das Intervall wird in gleichbreite Intervalle zerhackt. Der "Funktionswerthub" verteilt sich jetzt auf Einzelhube, von denen dann mindestens einer die Mindestabsolutgröße aufweisen muss. Mit wachsendem ist das aber irgendwann dann nicht mehr mit der Voraussetzung in Einklang zu bringen.

Jetzt habe ich aber mein Pulver verschossen - für weitere Erklärungen muss wohl ein geschulter Didaktiker ran.
 
 
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen, diese Erklärung hat mir definitiv geholfen.

Angenommen, wir haben die Funktion . Es ist klar, dass die nicht konstant ist, es geht mir nur ums Verständnis. Angenommen diese Funktion ist nicht konstant, seien also dann mit und und .

Wenn ich jetzt ein Intervall betrachte und dieses in Einzelhube zerhacke: Dann gilt: für mit und .

[attach]53165[/attach]



Wenn ich das jetzt richtig verstehe, kriegt man zum Beispiel für und und , drei Intervalle, die habe im Bild angehängt: verwirrt

Wenn das soweit korrekt ist, verstehe ich nur nicht, was genau mit der Mindestabsolutgröße gemeint ist. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Jetzt habe ich aber mein Pulver verschossen - für weitere Erklärungen muss wohl ein geschulter Didaktiker ran.

Ist jetzt eingetreten.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Alles gut, trotzdem danke. Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisfunktion
Ich greife deine ursprüngliche Idee auf:

Zitat:
Original von tornadokick
Ich hatte mir überlegt zu zeigen, dass die Ableitung von f null ist und zwar für x,y aus R.


Das "... für x,y aus R" ist unscharf. Aber ansonsten funktioniert das.

Man denkt sich beliebig, aber fest gewählt und betrachtet alle . Aus der vorgegebenen Beziehung für folgt:



Für strebt die rechte Seite gegen 0, also auch die linke. Insbesondere ist bei differenzierbar, und es gilt:



Da beliebig war, ist global differenzierbar mit verschwindender Ableitung.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch eine kleine Frage dazu, wenn das kein Problem ist. Wir haben das Konstanzkriterium in der VL gehabt, aber dort hatten wir angenommen, dass wir immer ein Intervall betrachten.

Könnte ich zum Beispiel sagen: Sei (b,c) ein bel. Intervall und b,c aus R mit b < c und (b,c) teilmenge R. Wenn ich jetzt x,y aus (b,c) wähle. Kann ich dann mit dem Folgenkriterium zeigen, dass f diffbar ist und würde das dann auf für alle x,y aus R gelten, weil (b,c) quasi ein beliebiges Intervall ist? verwirrt
Langzeit Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg von Leopold funktioniert so nicht, dass sollte auch deine Frage beantworten. Du brauchst halt ein Intervall, das hast du aber hier nicht gegeben.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm aber ich hab doch ein Intervall kreiert? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisfunktion
Zitat:
Original von tornadokick
Gegeben sei eine Funktion mit ...


Hier ist dein Intervall:
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