Dreifachintegral mit Einheitskugel

07.06.2021, 17:18

integrathor

Dreifachintegral mit Einheitskugel

Hallo

Es geht um das Dreifachintegral $\begin{eqnarray*} \int \int \int_B ~ \frac{1}{|\vec{x}|} d \vec{x} \end{eqnarray*}$ wobei B die Einheitskugel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ beschreibt.

Zunächst mal habe ich mich gefragt, ob der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\vec{x}|}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ lauten soll, ist das wohl so gemeint ?

Welche Koordinatentransformation wäre hier wohl angebracht, vermutlich von kartesisch in Kugelkoordinaten ?

Ein Versuch mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=r^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int \int \int_B ~ \frac{1}{x^2+y^2+z^2} dxdydz=\int_0^1 \int_0^{2 \pi} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r^2} \cdot r^2 \cdot cos(\alpha) \cdot d\alpha \cdot d\phi \cdot dr=\int_0^1~1~dr \cdot \int_0^{2 \pi}~1~d\phi \cdot \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~cos(\alpha) ~ d\alpha=1 \cdot 2 \pi \cdot (sin(\frac{\pi}{2}) - sin(-\frac{\pi}{2}))=2 \pi \cdot 2 = 4 \pi \end{eqnarray*}$

Ist mein Versuch korrekt oder bin ich auf dem Holzweg ?

07.06.2021, 17:39

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreifachintegral mit Einheitskugel

Zitat:

Original von integrathor
Zunächst mal habe ich mich gefragt, ob der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\vec{x}|}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ lauten soll, ist das wohl so gemeint ?

Nein. $\begin{eqnarray*} |\vec x |=\sqrt {x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist dein Weg in Ordnung.

07.06.2021, 18:17

integrathor

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Huggy.

Dann müsste es so sein :

$\begin{eqnarray*} \int \int \int_B ~ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} dxdydz=\int_0^1 \int_0^{2 \pi} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r} \cdot r^2 \cdot cos(\alpha) \cdot d\alpha \cdot d\phi \cdot dr=\int_0^1~r~dr \cdot \int_0^{2 \pi}~1~d\phi \cdot \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~cos(\alpha) ~ d\alpha=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi \cdot (sin(\frac{\pi}{2}) - sin(-\frac{\pi}{2}))= \pi \cdot 2 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

07.06.2021, 19:05

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Neue Frage »

Antworten »

Dreifachintegral mit Einheitskugel

Verwandte Themen