Rekursive Funktion, Eigenschaften

07.06.2021, 18:13	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Funktion, Eigenschaften Es gilt für folgende rekursiv definierte Funktion $\begin{eqnarray} f_{n+1}=cos(f_n(x)) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f_0(x)=x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|f_{n+1}(x)-f_n(x)\|\leq 2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray}$ sowie, dass die Folge gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Mich irritiert diese rekursive Definition, deshalb weiß ich nicht wie vorgehen...
07.06.2021, 19:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Funktion , Eigenschaften Wie üblich: Per Induktion. Für $\begin{eqnarray} n =0 \end{eqnarray}$ ist die Aussage falsch, für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist die Aussage trivial und für den Induktionsschritt benutzt man den Mittelwertsatz inkl. dass $\begin{eqnarray} \max_{\xi \in [-1,1] } \|\sin(x)\| \leq \sin \left( \frac \pi 3 \right)=\frac{\sqrt 3}{2} \end{eqnarray}$
08.06.2021, 19:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Funktion , Eigenschaften Okay also für n=1 $\begin{eqnarray} \|cos(cos(x))-cos(x)\| \leq 2 \end{eqnarray}$ Und dann den MWS der Diffrechnung? $\begin{eqnarray} \exists \xi \| f_{n+1}-f_n \| = f'(\xi) \end{eqnarray}$ und dann f'(x) mit sin abschätzen? Warum kann ich den MWS überhaupt anwenden?
08.06.2021, 22:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Funktion , Eigenschaften Für $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \cos(b) - \cos(a) = \sin(\xi) (b-a) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \xi \in (a,b) \end{eqnarray}$ . Und nun ist $\begin{eqnarray} f_{n+2}(x) - f_{n+1}(x) = \cos( f_{n+1} (x) ) - \cos( f_{n} (x) ) \end{eqnarray}$ . Siehst du wie man das anwenden kann?

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