Satz über Newton-Verfahren und dessen Jacobi-Matrix

08.06.2021, 10:18

DerCalculator9000

Satz über Newton-Verfahren und dessen Jacobi-Matrix

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich versuche gerade einen bewiesenen Satz in unserer Numerik-VL nachzuvollziehen, allerdings gelingt mir dies nur bedingt.
Der Satz ist der Folgende:
Sei Folgendes gegeben: $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{R}^n \textup{offen}, f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n \textup{zweimal stetig diffbar}, x^* \in M \textup{innerer Punkt}, f\left ( x^* \right ) = 0, J_f\left ( x^* \right ) \textup{invertierbar}, \varphi\left ( x \right ) = x-\left ( J_f\left ( x \right ) \right )^{-1}\cdot f\left ( x \right ) \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} J_\varphi \left ( x^* \right ) = 0 \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$
Salopp formuliert: Werte ich meine Nullstelle von f in der Funktion des Newton-Verfahrens aus, so erhalte ich die Nullmatrix.

Meine Ideen:
Zu Beginn des Beweises haben wir eine Darstellung der (i,j)-ten Komponente von $\begin{eqnarray*} J_\varphi \left ( x \right ) \end{eqnarray*}$ hergeleitet, mittels Ableitung und vorallem Produktregel. Das ist auch alles noch nachvollziehbar. Die Darstellung ist die Folgende:
$\begin{eqnarray*} \left ( J_\varphi \left ( x \right ) \right )_{ij} = \delta_{ij} - \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial \left ( J_f \right )_{ik}^{-1}}{\partial x_j}\cdot f_k - \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} \end{eqnarray*}$ .
Nun setzten wir unsere Nullstelle $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ein und erhalten zwei Fälle, wo dann die Probleme auftreten, da der Prof dort den Beweis "abgebrochen" hat und "Rest einfaches Nachrechnen" geschrieben hat.
Ich versuche es mal aufzudröseln, soweit wie ich es hinbekommen habe:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} i \neq j, 1\leq i,j\leq n: \end{eqnarray*}$
Nun offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \delta_{ij} = 0 \Rightarrow \left ( J_\varphi \left ( x^* \right ) \right )_{ij} = \delta_{ij} - \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial \left ( J_f \right )_{ik}^{-1}}{\partial x_j^*}\cdot f_k - \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} = - \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial \left ( J_f \right )_{ik}^{-1}}{\partial x_j^*}\cdot f_k - \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ Nullstelle von f ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} - \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial \left ( J_f \right )_{ik}^{-1}}{\partial x_j}\cdot f_k = 0, \textup{da} f_k\left ( x^* \right ) = 0 \end{eqnarray*}$
Daher haben wir nur noch $\begin{eqnarray*} \left ( J_\varphi \left ( x \right ) \right )_{ij} = - \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} \end{eqnarray*}$ was ja dann offensitlich gleich Null sein muss. Allerdings verstehe ich nicht warum, vermute aber natürlich es hängt stark mit der Voraussetzung des 1. Falls zusammen.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} i = j, 1\leq i,j\leq n: \end{eqnarray*}$
Analog zum 1. Fall steht dort dann mit der gleichen Argumentation für die erste Summe:
$\begin{eqnarray*} \left ( J_\varphi \left ( x \right ) \right )_{ij} = 1 - \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} \end{eqnarray*}$ und auch hier verstehe ich nicht, warum dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} = 1 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Hier ist natrülich noch zu erwähnen, dass sie der Teil innerhalb der Summe irgendwie "aufhebt", aufgrund der Inversen und dem Fakt, dass i = j ist.
Ich hoffe jemand kann es mir erklären, vielleicht ist es ja tatsächlich so einfach wie mein Prof schreibt und ich sehe es nur nicht.

MFG

08.06.2021, 11:23

Huggy

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RE: Satz über Newton-Verfahren und dessen Jacobi-Matrix
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\left ( J_f \right )_{ik}^{-1} \cdot J_{kj} =\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Es wird eine Matrix mit ihrer Inversen multipliziert und das ergibt die Einheitsmatrix. Damit hebt sich das Kroneckerdelta ohne Fallunterscheidung weg.

08.06.2021, 12:08

DerCalculator9000

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Vielen Dank schonmal für die Antwort, ich habe allerdings noch Nachfragen:
1. Sehe ich es richtig, dass innerhalb der Summe ein Skalarprodukt steht, da die Zeilenvektoren der inversen Matrix mit den Spalten Vektoren der normalen Matrix jeweils von 1,...,n multipliziert werden?
2. Sie sagen ich bekomme innerhalb der Summe die Einheitsmatrix, warum ergibt das dann das Kroneckerdelta. Auffällig ist mir dies damals auch schon bei orthogonalen Matrizen geworden, wo das Skalarprodukt zweier Vektoren aus einer orthogobalen Matrix gleich dem Kroneckerdelta ist.

MFG

08.06.2021, 12:28

Huggy

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Zitat:

Original von DerCalculator9000
1. Sehe ich es richtig, dass innerhalb der Summe ein Skalarprodukt steht, da die Zeilenvektoren der inversen Matrix mit den Spalten Vektoren der normalen Matrix jeweils von 1,...,n multipliziert werden?

Ja. So ist ja ganz allgemein die Matrixmultiplikation definiert.

Zitat:

2. Sie sagen ich bekomme innerhalb der Summe die Einheitsmatrix, warum ergibt das dann das Kroneckerdelta.

Die Einheitsmatrix hat in der Hauptdiagonale überall den Eintrag $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und überall sonst den Eintrag $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Hauptdiagonale heißt Zeilenindex $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ = Spaltenindex $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ , dann Eintrag $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ , dann Eintrag $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist genau die Definition des Kroneckerdelta $\begin{eqnarray*} \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ .

08.06.2021, 12:40

DerCalculator9000

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Ah natürlich, ich hatte im Hinterkopf vergessen das es sich natürlich nur um einzelne Einträge handelt.
War also doch so einfach wie der Prof gesagt hat, vielen Dank! smile

MFG

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