Ebene in Parameterform Herleitung

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HummelHummel45678 Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene in Parameterform Herleitung
Meine Frage:
Hallo leute,

wir haben heute im GK die Ebene in Parameterform eingeführt,jedoch habe ich die Herleitung nicht verstanden und hoffe,dass mir jemand helfen kann.

Meine Ideen:


wir haben dazu einen Karton genommen und sollten und vorstellen,dass dieser Karton eine Tischplatte darstellt.Dann sollten wir sagen,wie viele Tisschbeine dieser Karton mindestens braucht,sodass er sicher und solide steht.
Die Antwort war 3 Beine. Dann hat unser Lehrer gesagt,dass die Tischplatte ein fiktive eine Ebene sein könnte und ob wir nun eine Ahnung hätten,wie eine Ebene aufgespannt wird.
Wir sagten auch 3 Vektoren.

Und dann fängt mein Problem an. Ich weis nicht,wie ich die einzelnen Tischbeine deuten kann. Eines der Tischbeine ist ja mein Ortsvektor der Ebene und die Strecke zwischen dem Ortsvektor und den anderen beiden Vektoren bildet ja meine Spannvektoren.

Aber wie kann man das asu dem Beispiel herleiten??
Konkret: ich verstehe den Übergang vom Beispiel zur Parameterdarstellung der Ebenen nicht.

Bitte Hilffe
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene in Parameterform Herleitung
Zitat:
Und dann fängt mein Problem an. Ich weis nicht,wie ich die einzelnen Tischbeine deuten kann. Eines der Tischbeine ist ja mein Ortsvektor der Ebene und die Strecke zwischen dem Ortsvektor und den anderen beiden Vektoren bildet ja meine Spannvektoren.

Es soll ja um eine Ebene gehen, die im dreidimensionalen Raum liegt. Im Bild mit dem Tisch soll die Tischfläche einen kleinen Ausschnitt aus der Ebene repräsentieren. Für die eindeutige Fixierung der Lage der Ebene im Raum sind die drei fixierten Punkte A,B,C nötig (den 3 Punkten entsprechend, in welchen die 3 Beine am Tischblatt befestigt sind).

Beachte dabei, dass die Tischbeine nicht in der Ebene liegen, so wenig wie die drei Ortsvektoren der drei gegebenen (nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegenden) Punkte A, B, C .
hummelhummelantowort Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fasse mal zusammen.

Wir haben die Tischplatte,die stellvertretend für eine Ebene steht. Dabei steht die tischplatte sicher,wenn sie mindestens auf drei Beinen steht.
Das heißt für uns,dass die Ebene aus drei Punkten (A,B,C) erzeugt werden kann.
Da die Lage der Ebene in der Dimension verschoben werden kann,muss also es einen Ortsvektor geben,der Vektor A.
Da außerdem die Ebene aufgespannt werden muss,kann man nun mit Hilfe der Vektoren B & C,die beinen Spannvektoren r* AB und s* AC bilden.

So erhält man A+r*AB+s*AC

so gut?
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

OK

Etwas präziser:
Man kann dann die Ebene E als die Menge jener Punkte P des Raumes verstehen, deren Ortsvektor sich auf diese Weise darstellen lässt:



Wichtige Voraussetzung ist dabei noch (wie schon vorher angedeutet), dass die drei vorgegebenen Punkte A,B,C ein "echtes" Dreieck ABC (mit positivem Flächeninhalt) bilden. Liegen die 3 Punkte z.B. in einer geraden Linie, so kippt der Tisch natürlich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vorzeichen des Flächeninhaltes hängt vom Umlaufsinn ab und kann natürlich auch negativ sein.
Daher betrachtet man den Betrag und dieser muss ungleich Null sein.

Genau genommen wird eine Ebene bereits von 2 nicht parallelen (Richtungs-)Vektoren aufgespannt*. Die endgültige Lage der Ebene wird dann durch einen Stützpunkt fixiert.
3 nicht auf einer Geraden liegende Punkte bestimmen eindeutig eine Ebene, sie erzeugen zwar drei Vektoren, welche allerdings linear abhängig sind, denn einer dieser Vektoren ist immer die Summe der beiden anderen.

(*) 2 parallele Geraden, die ebenfalls eine Ebene bestimmen, geben zunächst nur eine Richtung an, auf ihnen liegen aber dann 2 weitere Punkte, die einen weiteren (unabhängigen) Richtungsvektor erzeugen.

mY+
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Daher betrachtet man den Betrag und dieser muss ungleich Null sein.

Der Betrag muss sogar positiv sein ... und genau das habe ich auch von Anfang an gemeint.
Und nebenbei: Für Dreiecke ABC, deren Eckpunkte A,B,C Punkte im Raum sind, ist eine Definition des Flächeninhaltes, welche auch negative Werte annehmen kann, gar nicht sinnvoll oder praktikabel, denn es gibt ja da keine "natürliche" Orientierung ...
 
 
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