Winkelberechnung mit Sinus

08.06.2021, 20:33

Lemmonade

Winkelberechnung mit Sinus

Hallo liebe Matheboard Community,

ich habe mir gerade folgende Frage gestellt:

Ist die Anwendung von $\begin{eqnarray*} sin^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzumformung?

Kann ich also schreiben:

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha) = 0.6 \Leftrightarrow \alpha = sin^{-1} (0.6) \Leftrightarrow \alpha = 36.8° \end{eqnarray*}$

oder gilt hier keine Äquivalenz?

Theor. müsste ja Äquivalenz gelten, da $\begin{eqnarray*} sin(36.8) = 0.6 \end{eqnarray*}$ gilt, oder? Also ich kriege ja wieder den Anfangswert heraus.

Mfg. Lemmonade

08.06.2021, 20:51

Lemmonade

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ich glaube meine Überlegung war falsch.

Zwar folgt aus

$\begin{eqnarray*} sin(±)=0.6 \Rightarrow \alpha = 36.8° \end{eqnarray*}$ ,

allerdings geht die Rückrichtung nicht, da

$\begin{eqnarray*} sin(396.8) = sin(36.8) = 0.6 \end{eqnarray*}$

folglich wäre

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha) = 0.6 \Rightarrow \alpha = sin^{-1} (0.6) \Leftrightarrow \alpha = 36.8° \end{eqnarray*}$

korrekt, oder?

08.06.2021, 20:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} \sin^{-1} \end{align*}$ ist eine Taschenrechnerbezeichnung. Bei anständigen Mathematikern wird das als $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ (Arcussinus, d.h. Kreisbogen zum Sinuswert) bezeichnet.

Die Sache ist ein wenig komplizierter. Wenn man nur Winkel zwischen $\begin{align*} -90^{\circ} = - \frac{\pi}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \end{align*}$ in Betracht zieht, dann ist $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ für diesen Winkelbereich die Umkehrfunktion. Wenn man dagegen auch weitere Winkel zuläßt, trifft das nicht mehr zu.

So gilt zum Beispiel:

$\begin{align*} \sin(150^{\circ}) = 0{,}5 \end{align*}$

Dagegen

$\begin{align*} \arcsin(0{,}5) = 30^{\circ} \end{align*}$

08.06.2021, 21:08

Lemmonade

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, okay. Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.

Dann dürfte es allerdings doch okay sein, wenn ich das ganze als Äquivalenzumformung schreibe, solange ich nur Winkel in einem Dreieck damit berechnen möchte, oder? Denn dort betrachtet man ja gerade die Umkehrfunktion.

Also darf ich durchaus:

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=0.6 \Leftrightarrow \alpha = sin^{-1} ( 0.6 ) = 36.8 \end{eqnarray*}$

schreiben, da dort nur Winkel zwischen -90° und 90° betrachtet werden.

08.06.2021, 21:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Solange du dich in einem rechtwinkligen (!) Dreieck befindest und mit den klassischen Formeln (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse) arbeitest, kannst du $\begin{align*} \sin \end{align*}$ und $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ als Umkehrfunktionen voneinander ansehen.

Sobald du auch stumpfwinklige Dreiecke zuläßt, ist damit Schluß. Bei der Anwendung des sogenannten Sinus-Satzes kommt es in der Tat zu Mehrdeutigkeiten.

Ein Beispiel. Zu konstruieren ist ein Dreieck (Standardbezeichnungen) mit

$\begin{align*} a = 5, \ c = 3, \ \gamma = 25^{\circ} \end{align*}$

Zur Berechnung von $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ kann man den Sinus-Satz anwenden:

$\begin{align*} \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{c} \end{align*}$

Mit den obigen Werten ergibt das:

$\begin{align*} \sin(\alpha) = \frac{5}{3} \cdot \sin(25^{\circ}) \end{align*}$

$\begin{align*} \sin(\alpha) \approx 0{,}7044 \end{align*}$

Und hier gibt es zwei Lösungen:

$\begin{align*} \alpha = \alpha_1 \approx 44{,}8^{\circ} \ \ \text{oder} \ \ \alpha = \alpha_2 \approx 135{,}2^{\circ} \end{align*}$

09.06.2021, 10:07

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} sin^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eine Taschenrechnerbezeichnung. Bei anständigen Mathematikern wird das als arcsin (Arcussinus, d.h. Kreisbogen zum Sinuswert) bezeichnet.

Auch durchaus anständige und professionelle Mathematiker benützen die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ für die Umkehrfunktion einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Die Sinusfunktion muss man allerdings zunächst auf ein geeignetes Definitionsintervall beschränken, damit man ihr eine (eindeutige) Umkehrfunktion zuordnen kann.

09.06.2021, 10:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Fakt ist, dass gerade bei Winkelfunktionen eine Bezeichnung wie $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$ problematisch ist, weil man andererseits $\begin{eqnarray*} \sin^n(x) \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige Exponenten $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ üblicherweise in der Potenz-Deutung $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^n \end{eqnarray*}$ sieht. Warum man dann für $\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$ plötzlich zur Umkehrfunktions-Deutung wechseln soll, ist schon ziemlich gewöhnungsbedürftig. Ich kann mich auch an den einen oder anderen Thread hier im Board erinnern, wo Fragesteller dann irrtümlich von $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ ausgegangen sind, und man kann es ihnen nicht verübeln.

Neue Frage »

Antworten »

Winkelberechnung mit Sinus

Verwandte Themen