Kurvenlänge Integral/Substitution

09.06.2021, 09:40	mullman1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge Integral/Substitution Hallo, ich bin seit Stunden am verzweifeln für die Lösung einer Aufgabe die folgendermaßen lautet, siehe angehängtes Bild: [attach]53171[/attach] Die Ableitungen habe ich folgendermaßen gebildet und ich kriege alles hin, außer die Kurvenlänge zu berechnen. dx = exp(t)cos(2pit) - exp(t) 2pisin(2pit); dy = exp(t)sin(2pit) + exp(t) 2picos(2pit); Man hat mir den Tipp gegeben, dass man das Integral durch Substitution mittels: dx = dx * dt/dt lösen kann. Jetzt bin ich aber seit Tagen am grübeln wie das funktioniert... Kann mir hier jemand weiterhelfen? Für die Kurvenlänge muss ein Ergebnis der Größe 10,xx rauskommen. Viele Grüße und Danke im voraus. Daniel
09.06.2021, 10:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenlänge Integral/Substitution Die Formel $\begin{eqnarray} L = \int \sqrt{1 + (y'(x))^2} ~dx \end{eqnarray}$ ist für Kurven in Parameterdarstellung eher ungeeignet. Hierfür paßt die Formel $\begin{eqnarray} L = \int \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} ~dt \end{eqnarray}$ . Mit der Substitution dx = dx * dt/dt = x'(t) dt kann man auch die 2. Formel aus der 1. Formel herleiten.
09.06.2021, 10:30	mullman1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Könntest du mir die Herleitung erklären, bzw. eine Seite vorschlagen wo das passiert? Mir ist es momentan nicht so klar wie ich bei der Aufgabenstellung darauf hätte kommen sollen.
09.06.2021, 10:57	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Benötigt wird doch die Formel für die Bogenlänge einer Parameterkurve. Die angegebene Formel bezieht sich allerdings auf eine nach y aufgelöste Kurve. Die eigentliche Formel ist $\begin{eqnarray} L = \int_0^1 \big\|\tfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\big\|\,\mathrm dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \big\|\tfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\big\| = \sqrt{(\tfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt})^2+(\tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt})^2} \end{eqnarray}$ . Darauf liefe es für $\begin{eqnarray} \tfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}>0 \end{eqnarray}$ auch mit der vorgebrachten Substitution hinaus, denn dann ist $\begin{eqnarray} \sqrt{1+(\tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2} \tfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\mathrm dt = \sqrt{1+(\tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2} \sqrt{\big(\tfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\big)^2}\mathrm dt = \sqrt{(\tfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt})^2+(\tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt})^2}\,\mathrm dt. \end{eqnarray}$ Deine Ableitungen sind genau genommen dx/dt, dy/dt, nicht bloß dx, dy. Tipp: Beachte dass du $\begin{eqnarray} e^t \end{eqnarray}$ ausklammern kannst und der Rest von der Form einer linearen Abbildung ist, nämlich $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = e^t \begin{pmatrix}1 & -2\pi\\ 2\pi & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(2\pi t) \\ \sin(2\pi t)\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Das ist nicht irgendeine lineare Abbildung, es ist eine konforme, denn die Matrix ist von der Form $\begin{eqnarray} \big(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\big). \end{eqnarray}$ Das ist eine Drehstreckung um den Streckungsfaktor $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ . Aus diesem Grund ist $\begin{eqnarray} \bigg\|\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\bigg\| = e^t \sqrt{4\pi^2+1}\cdot\left\|\begin{pmatrix}\cos(2\pi t) \\ \sin(2\pi t)\end{pmatrix}\right\| = e^t\sqrt{4\pi^2+1}\cdot 1. \end{eqnarray}$
09.06.2021, 11:22	mullman1	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh gott endlich hab ichs verstanden! Vielen lieben dank dir.

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