Volumenintegral

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integrathor Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral
Hallo

Es geht um die Berechnung vom Volumen des Körpers, der vom Kegel und der Halbkugel begrenzt wird.

In der Vorlesung wurden bisher Kugel- und Zylinderkoordinaten behandelt, Kegelbetrachtungen waren aber noch nicht dabei.

Meine Ideen wären :

1) Rotation der Graphen zu k(x)=x (Einheitskegel mit r=1 und h=1) und (Halbkugel mit r=1) jeweils im Intervall [0;1] um die x-Achse, was bei mir zu einem Gesamtvolumen von führt.

2) Da zur Zeit aber Mehrfachintegrale behandelt werden, dachte ich daran, dass es auch damit gehen muss und vermutlich auch so gedacht ist. Von daher wäre eine weitere Idee über Zylinderkoordinaten für K zu gehen, wenn man nutzen darf, dass bei gleichem Radius r und gleicher Höhe h das Kegelvolumen einem Drittel des entsprechenden Zylindervolumens entspricht. Ist halt die Frage, ob man diesen Ansatz einfach so nutzen darf, auch wenn das ja eigentlich 8. Klasse Schulmathe ist.


Sind meine Ausführungen soweit in Ordnung ?

Wie würdet ihr an das Problem mit einem Doppel- oder Dreifachintegral herangehen ?
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich glaube, Dau hast den Körper, um den es geht noch nicht ganz erfasst.

Der Körper ist ja rotationssymmetrisch. Du kannst Dir also in der x-z-Ebene eine Skizze des Schnitts machen und daran alles ablesen. Dann siehst Du, dass sich der Körper aus einem Kegel (allerdings mit kleineren Maßen) und einer Kugelkappe zusammensetzt. Diese Anteile kannst du mit geometrischen Formeln berechnen, klar.

Aber wenn Ihr Volumenintegrale bearbeitet ist es wohl auf jeden Fall wichtig, das Volumen auch dadurch zu berechnen. Dazu musst Du den Körper parametrisieren, ich würde zunächst mal Zylinderkoordinaten nehmen. Kugelkoordinaten geht auch.

Gruß pwm
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich glaube, Dau hast den Körper, um den es geht noch nicht ganz erfasst.


Bevor ich dann nochmal was mit Dreifachintegralen versuche :

Geht es also gar nicht um einen Kegel (r=h=1) mit aufgesetzter Halbkugel (r=1) ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PWM
Der Körper ist ja rotationssymmetrisch. Du kannst Dir also in der x-z-Ebene eine Skizze des Schnitts machen und daran alles ablesen.

[attach]53174[/attach]
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Skizze, ich hatte es mir vorher bildlich wirklich falsch vorgestellt.


Neuer Versuch :

Schnittstellen der Graphen zu und durch Gleichsetzen :



Rotation der jeweiligen Graphen um die x-Achse :








Ist es so besser ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne die Integrale nochmal nach. Ich glaube, da sind Rechenfehler drin:
-------------------------------------------------------------------------------------------

Kegel:




-------------------------------------------------------------------------------------------
Kugelsegment:



-------------------------------------------------------------------------------------------
 
 
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis.









Passt es so ?
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok den Faktor 4 kann man noch rausziehen :

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von integrathor
2) Da zur Zeit aber Mehrfachintegrale behandelt werden, dachte ich daran, dass es auch damit gehen muss und vermutlich auch so gedacht ist.

Berechnung mit Kugelkoordinaten





mit Volumendifferential .

Hier bei deinem Körper sind die passenden Integrationsintervalle

,

das ergibt

.
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Ergänzung, HAL 9000.

Das hat mich inspiriert es auch mal mit Kugelkoordinaten zu probieren :

In der Vorlesung hatten wir dieselbe Substitution für x,y und z, aber als Volumendifferential :



Bezogen auf Huggys Skizze in der xz-Ebene kam ich auf :



Beim Höhenwinkel hatte ich eigentlich gedacht, dass man symmetrisch von bis läuft.
Offensichtlich kommt dann aber das falsche Ergebnis raus.

Mag mir vielleicht nochmal jemand (evtl. auch anschaulich an Huggys Skizze) begründen, warum nicht von bis sondern von bis läuft ?


Und gerne würde ich auch die Variante von HAL 9000 anschaulich verstehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, ja, du hast Recht, ich hab die beiden üblichen Kugelkoordinatendefintionen (normal/geografisch) durcheinandergeworfen. Die von mir verwendeten





sind die geografischen Kugelkoordinaten mit mit Volumendifferential .

Hier bei deinem Körper sind dann aber die passenden Integrationsintervalle tatsächlich etwas anders als von mir oben geschrieben:

,

so dass die Rechnung eigentlich lautet

.

Sorry für das Durcheinander, war wohl nicht gut drauf beim obigen Beitrag.
integrathor Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung und Aufklärung.

Zwei Anliegen habe ich noch :

1) Ob man für den Bereich oder oder von mir aus auch wählt, ist das egal ?

2) Warum durchläuft den Bereich (rot markierter Winkel) und nicht (schwarz markierter Winkel) ?
Hat das damit zu tun, dass durch schon die einzelnen 4 Quadranten der xy-Ebene abgegrast werden und dort jeweils nur die Höhenwinkel möglich sind ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von integrathor
1) Ob man für den Bereich oder oder von mir aus auch wählt, ist das egal ?

Richtig, es muss nur ein durchgehendes Intervall der Länge sein.

Zitat:
Original von integrathor
2) Warum durchläuft den Bereich (rot markierter Winkel) und nicht (schwarz markierter Winkel) ?

Anscheinend hast du das mit den Kugelkoordinaten noch nicht richtig durchdacht. unglücklich

Der Breitengradwinkel läuft nur bis . Der von dir oben weiter eingezeichnete Bereich auf der anderen Seite entspricht auch wieder , nur eben mit einem Längengradwinkel statt (einmal horizontal um den Globus rum). So gibt man ja beispielsweise die Koordinaten von München als 48°N 11.5° O an, und nicht etwa als 132°N 168.5° W . smile
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