Prinzip! Preisabsatzfunktion bestimmen

09.06.2021, 16:36

sdgdthdhs

Preisabsatzfunktion bestimmen

Meine Frage:

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Aufgabe:

Wirtschaftsmathematik: p(x) bestimmen

Problem/Ansatz:

Ein Hersteller für Luxusuhren stellt bislang die gewinnoptimale Menge von 70 Stück her. Die Kostenfunktion beträgt: K = 120.000 + 500x. Es wird ein Gewinn von 2500 Geldeinheiten (GE) erzielt. Durch eine Werbeaktion, die 250.000 GE kostet, kann die Sättigungsmenge in der linearen Preis-Absatz-Funktion um 90 Stück erhöht werden. Bei dieser neuen Preis-Absatz-Funktion lässt sich die bisherige Verkaufsmenge zu einem Preis von 3600 GE verkaufen. Das Unternehmen kalkuliert aber die gewinnmaximale Preis-/Mengenkombination. Lohnt sich hierbei die Werbeaktion?

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie man hier vorgehen soll. Kann einer versuchen mir das vorzurechnen oder Ansatzpunkte nennen? Ich versuche die ganze Zeit auf Sättigungsmenge oder Prohibitivpreis zu kommen, scheitere aber kläglich.

Danke im Voraus!!

11.06.2021, 14:03

jb-007

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Wenn ich das richtig verstehe.

Die Kosten bei x-Produzierten Uhren sind:

$\begin{eqnarray*} k(x)=120.000 + 500\cdot x \end{eqnarray*}$

Der Gewinn ist am Größten bei x=70.

$\begin{eqnarray*} g(70)=2500 GE \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sk(70)=2214,30 GE \end{eqnarray*}$ Herstellungkosten pro Uhr.

Stückpreis pro Uhr.
$\begin{eqnarray*} sp(70)=\frac{2500+120.000+35.000}{70}GE=2250GE \end{eqnarray*}$

Gewinn pro Uhr.
$\begin{eqnarray*} gs(70)=35,71GE \end{eqnarray*}$

Durch eine Werbeaktion kann man 90 Stück mehr verkaufen. Diese Aktion kostete 250.000 GE.

Nun lässt sich die bisherige Menge von 70 Stück mit einem Preis von 3600 GE pro Uhr verkaufen.

$\begin{eqnarray*} p_{neu}(70)=3600GE \end{eqnarray*}$

Stückkosten nach der neuen Funktion ermitteln.

$\begin{eqnarray*} k_{neu}(x)=(120.000+250.000)GE+500\cdot(70+90)GE=450.000GE \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sk_{neu}=\frac{450.000 GE}{160}=2812,50 GE \end{eqnarray*}$

Gewinn neu für 70 Stück berechnen.

$\begin{eqnarray*} g_{neu}(70)=70\cdot (3600-2812,50)GE=55.125 GE \end{eqnarray*}$

Gewinn alt pro Stück.
$\begin{eqnarray*} gs=35,71 GE \end{eqnarray*}$

Gewinn neu pro Stück.

$\begin{eqnarray*} gs_{neu}=344,53 GE \end{eqnarray*}$

Gesamtgewinn neu:
$\begin{eqnarray*} g_{neu}=70\cdot 344,53 GE=24.117,10 GE \end{eqnarray*}$

Die Werbeaktion lohnt sich. Der Gewinn für 70 Uhren konnte von 2500 GE auf 24.117,10 GE gesteigert werden. Die ganzen Fixkosten incl. Werbeaktion wurden berücksichtigt.

11.06.2021, 14:35

mYthos

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Bitte KEINE Komplettlösungen!
Bitte KEINE Komplettlösungen!
Siehe das Boardprinzip!

mY+

12.06.2021, 08:42

Enano

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RE: Bitte KEINE Komplettlösungen!
... und insbesondere keine falschen! Augenzwinkern

13.06.2021, 11:33

mYthos

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@Enano
Das solltest du aber auch begründen!

mY+

13.06.2021, 11:35

Huggy

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen

Zitat:

Original von sdgdthdhs
Ich weiß nicht, wie man hier vorgehen soll.

$\begin{eqnarray*} K(x)=120000+500x \end{eqnarray*}$

Eine lineare Preis-Absatzfunktion hat die Form

$\begin{eqnarray*} x(p)=a-bp \text{ mit }a,b>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist die Sättigungsmenge. Die Einnahmen und der Gewinn betragen

$\begin{eqnarray*} E(p)=x(p)p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(p)=E(p)-K(x(p)) \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Gleichung kann man den Preis $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ermitteln, der den maximalen Gewinn ergibt. Nun weiß man

$\begin{eqnarray*} x(p_0)=70 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(p_0)=2500 \end{eqnarray*}$

Aus diesen beiden Gleichungen bekommt man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Die neue Preis-Absatzfunktion ist dann

$\begin{eqnarray*} x_1(p)=a+90-b_1p \end{eqnarray*}$

Die gegebene Information lautet

$\begin{eqnarray*} x_1(3600)=70 \end{eqnarray*}$

Daraus bekommt man $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man die neue Gewinnfunktion $\begin{eqnarray*} G_1(p) \end{eqnarray*}$ aufstellen und aus ihr den neuen optimalen Preis $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Aus ihm ergibt sich der neue Gewinn und man kann beurteilen, ob sich die Werbeaktion lohnt.

13.06.2021, 12:10

mYthos

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen

Zitat:

Original von Huggy
...

$\begin{eqnarray*} G(p_0)=2500 \end{eqnarray*}$

...

Das verstehe ich nicht.
G(p) ist eine ME und rechts die 2500 sind aber GE.
----------

Die PAF wäre eigentlich p = p(x) und x = x(p) die Nachfragefunktion, mit der man natürlich auch rechnen kann.

13.06.2021, 12:25

Enano

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Diese Aufgabe wurde auch einen Tag später in einem anderen Mathe-Forum gestellt.
Weil ich weder dort noch hier Interesse an dem richtigen Lösungsweg erkannt habe, wollte ich mir weiteren Aufwand ersparen.

Begründung dafür, dass die Lösung von jb-007 falsch ist:

Die neue Absatzmenge ist nicht, wie angenommen, 70+90.
Im Aufgabentext heisst es u.a. : "...kann die Sättigungsmenge ...um 90 Stück erhöht werden."
Das heisst aber nicht, dass die gewinnmaximale Menge 160 Stück beträgt. Sie ist es auch nicht. Diese muss erst noch berechnet werden.
Die 90 Stück müssten zu der alten Sättigungsmenge addiert werden, diese beträgt aber nicht 70 Stück.
70 Stück ist die gewinnmaximale Menge der alten PAF und nicht die Sättigungsmenge.
Wenn die Sättigungsmenge abgesetzt werden würde, wäre der Erlös gleich Null, denn sie ist definiert als die Menge, die bei einem Preis von Null abgesetzt wird.

13.06.2021, 12:38

Enano

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen
Das war vermutlich nur ein Tippfehler und Huggy meinte:

G(x_0) = 2500

13.06.2021, 12:50

Huggy

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Huggy
...

$\begin{eqnarray*} G(p_0)=2500 \end{eqnarray*}$

...

Das verstehe ich nicht.
G(p) ist eine ME und rechts die 2500 sind aber GE.

G(p) ist der Gewinn in GE.

13.06.2021, 17:17

Enano

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen
Hallo Huggy,

mein Lösungsweg sieht etwas anders aus, aber ich würde auch gerne verstehen, wie man mit deinem Lösungsweg, der kürzer zu sein scheint, zu einem richtigen Ergebnis kommt.

"Aus diesen beiden Gleichungen bekommt man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ."

Nur aus diesen beiden Gleichungen a und b zu ermitteln, ist mir nicht gelungen.

"Jetzt kann man die neue Gewinnfunktion $\begin{eqnarray*} G_1(p) \end{eqnarray*}$ aufstellen und aus ihr den neuen optimalen Preis $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Aus ihm ergibt sich der neue Gewinn und man kann beurteilen, ob sich die Werbeaktion lohnt."

Im Aufgabentext heisst es doch u.a. : "Das Unternehmen kalkuliert aber die gewinnmaximale Preis-/Mengenkombination."
Ich habe deshalb Grenzerlös=Grenzkosten gerechnet. Davon schreibst du aber gar nichts. Wie kommst du trotzdem auf das richtige Ergebnis?

Gruß
Enano

13.06.2021, 17:53

Huggy

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen

Zitat:

Original von Enano

"Aus diesen beiden Gleichungen bekommt man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ."

Nur aus diesen beiden Gleichungen a und b zu ermitteln, ist mir nicht gelungen.

Wenn man in meine Gewinnfunktion alles einsetzt, hat man eine quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Den Preis, der den Gewinn maximiert, bekommt man durch Nullsetzen der Ableitung. Mein Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} p_0=\frac {a+500b}{2b} \end{eqnarray*}$

Mit diesem Preis $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ haben die beiden Gleichungen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x(p_0)=70 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(p_0)=2500 \end{eqnarray*}$

nur noch die Unbekannten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} a=160 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac 1 {25} \end{eqnarray*}$

13.06.2021, 18:35

Enano

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen
@Huggy

Vielen Dank für die Aufklärung.
Ich glaubte irrtümlich, du meintest, man bräuchte nur 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit einem der klassischen Verfahren zur Lösung von LGS zu lösen.
Ich bin zu dem gleichen Ergebnis gekommen.
Weil ich aber mit der Preis-Absatz-Funktion gerechnet hatte, ist mein a = 4000 und mein b = 25.
Übrigens, ich kam auf einen Gewinn von minus 116875GE (ugs.: Verlust).

13.06.2021, 18:48

Huggy

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RE: Preisabsatzfunktion bestimmen

Zitat:

Original von Enano
Übrigens, ich kam auf einen Gewinn von minus 116875GE (ugs.: Verlust).

Das war auch mein Ergebnis.

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