Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen

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BirnigeBirnen Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Teilaufgabe:

Gegeben ist die Funktion F, die definiert ist als , wobei A eine invertierbare n x n-Matrix ist.
Ich soll zeigen, dass diese Funktion im Punkt A differenzierbar ist und die Ableitung folgende Gleichung erfüllt:



Ich weiß, dass gilt:


und als Hinweis die Matrixnorm

Meine Ideen:
Da wir noch relativ neu im Thema der Ableitung in mehreren Veränderlichen sind, ist mein einziger Ansatz den Differenzenquotienten zu benutzen:



Jedoch komme ich damit nicht weit und ich frage mich, wie ich die Matrixnorm da anwenden sollte.

Für jeden Tipp wäre ich dankbar!

MfG
BirnigeBirnen
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen
Hallo,

man kann das so darstellen:



Und dann (inspiriert durch die geometrische Reihe):



Wenn Du das zusammenbaust, hast kannst Du den Restterm identifizieren und sehen, dass er "quadratisch" in B ist

Gruß pwm
BirnigeBirnen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen
Hallo PWM,

deine Gleichungen machen wohl Sinn, aber ich hab lange überlegt wie mir das helfen kann und weiß nicht wie ich weiterkommen soll, aber kannst du mir vielleicht kurz zeigen, wie du das dann anwenden würdest?

Danke im Vorraus
BirnigeBirnen
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen
Hallo,

Du musst doch Folgendes durch dividieren und gegen dann B gegen 0 gehen lassen:



Diesen Term kannst Du mit meinen Überlegungen umformen und mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung zur Abschätzung Von Matrixnormen abschätzen, Du erhältst ein Produkt, das den Faktor enthält ....

Gruß pwm
BirnigeBirnen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit der Inversionsfunktion von Matrizen
Hallo,

ich habe meine Term zu folgendem ungeformt:



Falls dieser richtig ist, ist mir immernoch schleierhaft, wie ich diesen so umformen oder abschätzen kann, dass ich ein im Term vorkommt. Und wieso schätzen wir ab? Bestimmen wir den Limes dann mit dem Sandwich-Lemma?

Ich danke dir für Deine Hilfe!!
BirnigeBirnen
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