Kleinste Quadrate Schätzer

10.06.2021, 21:58

Kausus

Kleinste Quadrate Schätzer

Hallo

Ich habe eine Aufgabe bei der ich meinen Rechenfehler einfach nicht finde.

Die Zufallsvariable Y ist uniformverteilt im Intervall -1 und 1. Ausserdem gilt:
$\begin{eqnarray*} X= Y^{3} \end{eqnarray*}$ .
Finde den kleinsten linearen Quadrat Schätzer für Y. Also finde a und b, so ss Y(dach)=ax+b

Meine Intuition sagt mir a=0 und b=0. Wenn ich es allerdings ausrechne, bekomme ich ein anderes Resultat. Die Formel aus dem Buch lautet:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sigma_{X}^2} = \frac{E(XY)}{\sigma_{X}^2}=\frac{E(Y^4)}{\frac{1}{7}}=\frac{\frac{1}{5} }{\frac{1}{7}}=\frac{7}{5} \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist etwas falsch, aber ich finde den Fehler einfach nicht. Kann mir wer helfen ?

11.06.2021, 07:48

Huggy

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RE: Kleinste Quadrate Schätzer
Im Nenner muss $\begin{eqnarray*} \sigma_y^2 \end{eqnarray*}$ stehen. Wahrscheinlich sind in dem Buch die Rollen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ vertauscht. Auch täuscht dich deine Intuition bezüglich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

11.06.2021, 09:27

Kausus

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Also meine Intuition ist: Y nimmt Werte zwischen -1 und 1 an. Und zwar gleich wahrscheinlich, also Erwartungswert = 0. Ein Schätzer muss daher eine Steigung a von 0 haben. X muss daher auch Werte zwischen -1 und 1 annehmen mit Erwartungswert 0, nur mir einer kleineren Varianz und der Schätzer hat daher auch ein a = 0. Wo ist mein Denkfehler?

11.06.2021, 11:13

Huggy

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Es soll doch die quadratische Abweichung zwischen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ (unten auf der x-Achse aufgetragen) $\begin{eqnarray*} X=Y^3 \end{eqnarray*}$ (auf der y-Achse aufgetragen) durch eine lineare Funktion minimiert werden. Das leistet die blaue Gerade. Die quadratische Abweichung zur x-Achse (d. h. $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ ) ist
offensichtlich größer.
[attach]53183[/attach]

11.06.2021, 22:08

Kausus

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[attach]53184[/attach]

ich habe mir das so vorgestellt. 20 samples gezogen und hoch drei gerechnet. Dann ist der bester Schätzer eine Gerade mit a=b=0
Sorry, war vielleicht bei der Frage nicht so genau.

12.06.2021, 07:24

Huggy

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Meine Interpretation der Aufgabe war anders. Man würfelt Werte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ gleichförmig verteilt aus. Zu jedem Wert bildet man $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ und trägt die Wertepaare $\begin{eqnarray*} (y,y^3) \end{eqnarray*}$ in einem kartesischen Koordinatensystem auf. Gesucht ist die Gerade, die die kleinste quadratische Abweichung von der sich ergebenden Kurve hat.

Es kann natürlich gut sein, dass ich die Aufgabe falsch verstehe.

12.06.2021, 08:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kausus
Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist uniformverteilt im Intervall -1 und 1. Ausserdem gilt: $\begin{eqnarray*} X= Y^{3} \end{eqnarray*}$ .
Finde den kleinsten linearen Quadrat Schätzer für Y. Also finde a und b, so ss Y(dach)=ax+b

Wenn man das wortwörtlich nimmt, dann ist die Rechnung von Kausus im Originalbeitrag gar nicht so verkehrt:

Es geht dann um die Schätzung von $\begin{eqnarray*} Y = \sqrt[3]{X} \end{eqnarray*}$ durch eine Regressionsgerade $\begin{eqnarray*} Y=aX+b \end{eqnarray*}$ , und da ist dann tatsächlich $\begin{eqnarray*} a=\frac{7}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ,

12.06.2021, 11:08

Huggy

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Das könnte die korrekte Interpretation der Aufgabe sein.

12.06.2021, 14:10

Kausus

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Ja, denke ich auch. Irgendwo musste ich die Formel aus dem Buch benutzen. Also war meine Interpretation falsch. Danke euch.

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