Begründung des Grads einer Funktion (mit Graph) |
| 10.06.2021, 22:33 | fox13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Begründung des Grads einer Funktion (mit Graph) ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f‘ einer ganzrationalen Funktion f. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Antwort: a) Der Grad der Funktion f ist mindestens 4. Mein Graph von f‘ ist unten zu sehen. Sowohl in meiner mir vorliegenden Lösung, als auch im Internet gefundenen Lösungen wird über Extremstellen argumentiert (2 Extremstellen, f''(x)=0 liefert 2 Nullstellen, dazu muss f'' mind. den Grad 2 haben, deshalb hat f' mind. den Grad 3 und f eben mind. den Grad 4). Meine Frage ist nun: Kann man nicht auch direkt über die Nullstellen von f' argumentieren? Da es sich bei f um eine ganzrationale Funktion handelt, ist f‘ auch ganzrational. Für ganzrationale Funktionen gilt, dass der Linearfaktor der Nullstelle bei einem Schnitt in ungerader Anzahl (1, 3, 5, …fach) auftritt, wohingegen er bei einer Berührung in gerader Anzahl auftritt (2, 4, 6, …fach). Durch den Schnitt in x = -3 kann man doch sagen, dass f‘ dort offenbar eine mind. einfache Nullstelle und durch die Berührung in x = 0 dort eine mind. doppelte Nullstelle hat. Macht insg. einen Grad von mind. 3 für f‘ . Bzw. mit einem Faktor a (hier a = 0,5) die allg. Form f(x) = a(x+3)x² = ax³+3ax². Wie gesagt: Mindestens. Wenn man dann wieder integriert bzw. weiß, dass beim Differenzieren der Grad um Eins reduziert wird, müsste man so doch auch begründen können, dass f mindestens den Grad 4 hat. Sollten die Nullstellen von höheren Ordnungen sein, wäre automatisch ja auch der Grad von f‘ größer und damit dann auch wieder der Grad von f größer. Aber da nur nach „mindestens vom Grad 4“ gefragt ist, macht das ja nichts aus. Oder übersehe ich bei meiner Begründung etwas? |
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| 10.06.2021, 23:59 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Begründung des Grads einer Funktion (mit Graph) Es gibt sicher je nach abgebildetem Graph verschiedene Möglichkeiten zu argumentieren. Hier hätte man auch sagen können, f' hat einen Wendepunkt, also muß f''' eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben, also ist f''' mindestens vom Grad 1 usw. Auch die Begründung über Nullstellen empfehle ich gern, aber etwas allgemeiner: Man betrachte nicht nur die tatsächlichen Nullstellen des Graphen, sondern die minimale Vielfachheit der Nullstellen, die man durch Verschiebung des Graphen in y-Richtung erhalten kann. Durch so eine Verschiebung ändert sich der Grad der Funktion nicht, somit auch nicht der Grad einer Stammfunktion. Das hätte also auch mit dem folgenden Bild für dieselbe Fragestellung genügt. [attach]53182[/attach] Hauptsache also, man kann mit den typischen Eigenschaften von Funktionen umgehen, aber da bis Du ja offenbar ganz gut im Bilde. |
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