Gruppe mit Bilinearform

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TheRubixSolver Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe mit Bilinearform
Meine Frage:
Hallo liebe Mathe-Community, ich sitze hier seit 2 Tagen an einer Aufgabe und komme nicht recht weiter. Es handelt sich eigentlich um stumpfes "Nachrechnen" der Gruppenaxiome. Die Aufgabe lautet:
a) zz: Es sei eine Bilinearform auf dem K-VR V. Zeige, dass die Menge eine Gruppe bildet.

b) zz: Sei nun die Bilinearform B die Folgende: . Zeige, dass nun für B gilt.

Meine Ideen:
a) Verknüpfung der Gruppe ist scheinbar die normale Verknüpfung von linearen Abbildungen. Meine Abbildung ist offensichtlich invertierbar. Gut dann fang ich mal an:
0. Verknüpfung liegt wieder in der Menge:
Seien . Jetzt ist bsp. => => => .

1. Assoziativität: Mit dem gleichem Argument wie oben und der Assoziativität der Verknüfung von linearen Abbildungen bekomme ich, dass .

2. neutrales Element: Als neutrales Element habe ich .

3. inverses Element: Habe ich nicht...

Bin mir eigentlich ziemlich sicher das ich falsch liege, nur hab keine andere Idee. Verknüpfe ich überhaupt richtig? Muss ich vllt. etwas ganz anderes verknüpfen?

b) Offensichtlich benötige ich eine Matrix mit für die spezielle lineare Gruppe. Also die Menge der komplexen, invertierbaren 2x2-Matrizen, mit Determinate = 1.
Meine Bilinearform hat in sich ja die Formel für die Determinate einer 2x2-Matrix: . Wenn ich nun die darstellende Matrix der Bilinearform B ausrechnen, bezüglich irgendeiner Basis (Determinante hängt nicht von der gewählten Basis ab), dann bekomme ich bezüglich der Standardbasis des die darstellende Matrix . Also haben meine Matrizen schonmal die Determinante = 1. Da die Determinate somit ist, sind meine Matrizen auch invertierbar. Also habe ich invertierbare Matrizen mit der Determiante = 1, also gilt insgesamt

Ich bin für jede Hilfe dankbar! smile
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a). Weil GL(V) eine Gruppe ist (die allgemeine lineare Gruppe), braucht man lediglich die Prämissen des Untergruppenkriteriums prüfen, also

1.
2.

Die Verknüpfung ist die Verkettung, das heißt .

Tipp zur 2. Prämisse: Betrachte die Gleichung .
TheRubixSolver Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort, daran hatte ich nicht gedacht. Ich "rechne" das nach und dann melde ich ich wieder, falls es noch Probleme gibt.
Zur b) Ist dort alles korrekt?
TheRubixSolver Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir Folgendes überlegt:
1. Seine .
Nun ist und daher gilt:

=>

2. Sei .
Nun ist und daher gilt:

=> .
So in etwa?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gefällt das nicht so richtig, weil du nach meiner Lesung versuchst, eine Aussage über das Verhalten innerhalb der Verschachtelung zu treffen. Das ist mindestens umständlich, wenn nicht falsch.

Wenn du von Außen nach Innen gehst, sind es zwei Einzeiler:





Fast geschenkt, sobald das Prinzip klar geworden ist.
TheRubixSolver Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Prinzip war es richtig, nur der Weg zu umständlich?
Ich erkenne an, dass Ihre beiden Einzeiler deutlich übersichtlicher und eleganter sind.
Nun noch 2 weitere Fragen:
1. Zum Untergruppenkriterium:
Wir haben noch eine dritte Prämisse definiert, nämlich das das neutrale Element der "Obergruppe" auch in der Untergruppe enthalten sein muss. Offensichtlich ist das der Fall, da die Identität (im Matrixfall die Einheitsmatrix) in G(B) enthalten ist. Dies ist doch noch zu erwähnen, da wir die Identität in unserem Beweis für die 2. Prämisse benutzen.

2. Nochmal die Frage ob bei b) alles korrekt ist?

Vielen Dank für Ihrer Hilfe! smile
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a). Ja richtig. Ich bin davon stillschweigend davon ausgegangen dass G(B) nichtleer ist, denn sonst wäre das ganze Unterfangen witzlos.

Zu b). Die Rechnung ist richtig, es gilt



Die Frage ist allerdings, ob für eine beliebige invertierbare Matrix die Gleichung



die Eigenschaft nach sich zieht. Der Ansatz, die Standardbasis einzusetzen, ist jedoch zielführend, denn man findet

TheRubixSolver Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, Sie haben mir sehr geholfen! smile
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