ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt

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ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Meine Frage:
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Es sei bekannt, dass die Anzahl der jährlichen Verkehrsunfälle in einer Kleinstadt Poisson-verteilt ist mit unbekanntem Parameter \lambda > 0 und unabhängig über die Jahre. Nach n Jahren seien die beobachteten jährlichen Verkehrsunfälle x = (x_1, \cdots , x_n) \in \mathbb{N}_{0}^{n}. Bestimmen Sie den ML-Schätzer für \lambda. Als Schätzer für \lambda betrachten wir zudem \overline{\lambda}(x)=x_n. Untersuchen Sie beide Schätzer jeweils auf Erwartungstreue. Zeigen Sie, welcher der beiden Schätzer gleichmäßig kleineren mittleren quadratischen Fehler (MSE) hat.



Meine Ideen:
Meine Ideen:
1: Z.z. D_k uniform auf {0,...,b-1} verteilt für k \ge 1
2: Z.z. D_1,...,D_n unabhängig
3: Borel-Cantelli
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Fang doch mal an!
Was ergibt sich für den ML-Schätzer?
Was ergibt sich für seinen Erwartungswert?
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Ich habe die falschen Ideen reingepostet. Die sind von einer anderen Aufgabe über b-adische Darstellung.

Den ML-Schätzer für habe ich schon berechnet. Da kommt das arithmetische Mittel heraus.
Jetzt fehlen mir die Erwartungstreuen für die beiden Schätzer und dann zuletzt noch den gleichmäßig kleineren mittleren quadratischen Fehler (MSE).
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Zum Schluss kann ich dann noch die Rechnung für den ML-Schätzer für zur Kontrolle reinstellen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Wenn du den ML-Schätzer schon hast, kannst du doch auch seinen Erwartungswert hinschreiben.
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Richtig. Für den anderen Schätze ist das trivial. Es fehlt jetzt nur noch die daraus folgende Aussage zur Erwartungstreue.

Jetzt kannst du dich dem MSE für den ML-Schätzer widmen, welcher die Varianz des Schätzers ist. Für den anderen Schätzer ist die Varianz wieder trivial.
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt


Für den zweiten Schätzer hab ich auch raus. Ich habe für diesen Schätzer den Erwartungswert der Poissonverteilung berechnet.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Korrekt.
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
MSE = Var

Hier habe ich die Varianz der Poissonverteilung berechnet.



Der Schätzer hat mit der Varianz den gleichmäßig kleineren mittleren quadratischen Fehler (MSE).
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Auch das ist richtig. Formal unschön ist, dass du jetzt beide Schätzer genannt hast.
Ce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ML-Schätzer Erwartungstreue MSE Poisson-verteilt
Ok, super. Dankeschön.
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