Schwerpunkt einer Pyramide

13.06.2021, 15:41	fokus	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt einer Pyramide Hallo Es geht um die Berechnug des Schwerpunktes der Pyramide, die durch die 5 Ebenen x=0,y=0,z=0,x+y=1 und z=x+y begrenzt wird. Die Dichte soll dabei als konstant angenommen werden. Heißt "konstante Dichte", dass im Integranden nachher einfach 1 stehen kann ? Ich habe mir zunächst versucht vorzustellen, wie diese Pyramide wohl aussieht. Dazu habe ich mir ihre 5 Eckpunkte überlegt und bin auf die sich im Anhang befindende Zeichnung gekommen. Entscheidend ist ja nun der Integrationsbereich A bzgl. x,y und z. Eine Idee wäre das Dreifachintegral $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1 ~dzdydx \end{eqnarray}$ aber dabei bin ich mir noch recht unsicher. Sind meine Gedanken bisher richtig oder habe ich etwas falsch gemacht ? Wie würdet ihr ggf. vorgehen ?
13.06.2021, 17:30	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt einer Pyramide Bei konstanter Dichte ist $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z) \end{eqnarray}$ konstant 1. Auf das Mitführen einer Masseneinheit kann verzichtet werden, da die Lage des Schwerpunkts hier über das Volumen berechnet werden kann. Mit dem Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1 ~dzdydx \end{eqnarray}$ bekommst Du zunächst das Pyramidenvolumen, was zur Probe auch elementargeometrisch bestätigt werden kann. Als nächstes kannst Du $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ~dzdydx \end{eqnarray}$ komponentenweise berechnen. [attach]53187[/attach]
13.06.2021, 20:36	fokus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf : $\begin{eqnarray} V_{Pyramide}=\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1 ~dzdydx=\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h \end{eqnarray}$ Für die x-Koordinate vom Schwerpunkt erhalte ich schon mal $\begin{eqnarray} \bar{x}=\frac{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} x~dzdydx}{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1~dzdydx}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ Kommt das soweit hin ?
13.06.2021, 20:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt einer Pyramide Bisher stimmt es mit meinen Ergebnissen überein. An dieser Stelle muß ich mich für heute verabschieden.
13.06.2021, 22:10	fokus	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den anderen Koordinaten kam ich ebenso auf : $\begin{eqnarray} \bar{y}=\frac{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} y~dzdydx}{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1~dzdydx}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar{z}=\frac{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} z~dzdydx}{\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{x+y} 1~dzdydx}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{8} \end{eqnarray}$ Hab es recht generisch von innen nach außen durchintegriert. Hätte man es sich da einfacher machen können bzw. sehen können, dass eh überall 1/8 rauskommt ?
14.06.2021, 08:32	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt einer Pyramide Also in z-Richtung hätte ich spontan nicht das Auge, um das Ergebnis vorauszusagen. Aus Symmetriegründen ist aber plausibel, dass $\begin{eqnarray} \overline{x}=\overline{y} \end{eqnarray}$ .
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15.06.2021, 09:58	fokus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Kontrolle, klauss.

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