Konvergenz

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tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Wie kann ich zeigen, dass das für alle x gegen null konvergiert: ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man gar nicht zeigen. Die Reihe konvergiert zwar für alle reellen , aber nicht gegen Null, sondern gegen .
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, also wir sollten zuerst die Taylorreihe von bestimmen also im Entwicklungspunkt und dann schauen für welches konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion, d.h. in welchen gilt .

Habe ich die Aufgabe missinterpretiert?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Reihenwert und Reihenrest sind verschiedene Dinge.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tornadokick
d.h. in welchen gilt .


Also, wenn ich das richtig deute, gibt es zwei Möglichkeiten, entweder zeigt man, dass die Reihe gegen 2^x konvergiert oder man zeigt, dass der Reihenrest gegen null konvergiert? verwirrt

Da in der Aufgabe explizit das obere Zitat drin stand, versuche das damit zu machen. Ich habe jetzt mal im Internet recherchiert. Man muss anscheinend irgendwie den Konvergenzradius bestimmen über ein sogenanntes Quotientenkriterium, das hatten wir aber alles nicht in der VL.

Gibt es da eine einfache Möglichkeit?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest erst mal sagen, wie bei euch definiert ist. Wenn das nämlich das Restglied in der Taylorformel ist, dann konvergiert die Reihe, wenn das Restglied gegen Null geht. Und sie konvergiert gegen die Funktion, deren Taylorreihe sie ist.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Und sie konvergiert gegen die Funktion, deren Taylorreihe sie ist.

Wobei das nicht immer der Fall ist: Es gibt schließlich Taylorreihen, die zwar konvergieren, aber nicht gegen die Ausgangsfunktion - Beispiel

.

Insofern wäre es schon wichtig zu erfahren, wie denn nun die Aufgabenstellung genau lautet: Nur Konvergenz, oder doch Konvergenz gegen die Ausgangsfunktion?
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt . In welchem konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion, d.h. in welchen gilt .

Ich hatte zuerst die n-te Ableitung bestimmt: , also gilt:

Dann gilt für die Taylorreihe: und für gilt:

. Weiter bin ich nicht gekommen. ^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Huggy
Und sie konvergiert gegen die Funktion, deren Taylorreihe sie ist.

Wobei das nicht immer der Fall ist: Es gibt schließlich Taylorreihen, die zwar konvergieren, aber nicht gegen die Ausgangsfunktion

Mit meinem Vorsatz, wenn das Restglied des Taylorpolynoms gegen Null geht, gilt das schon. Das Restglied des Taylorpolynoms geht ja bei deinem bekannten Beispiel nicht gegen Null. Es ist ja von der Definition her etwas anderes als der Rest der Taylorreihe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja, mein Fehler: Das obige darf man natürlich erst dann so schreiben, wenn die Konvergenz der Taylorreihe gegen die Funktion gesichert ist. Vorher bleibt es vorsichtigerweise zunächst bei

.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@tornadokick

Habt ihr folgenden Satz gehabt? Für jede beliebig oft differenzierbare Funktion gilt



mit



mit einem zwischen und . Falls ja, beweise für dein , dass mit für alle gegen Null geht. Dann konvergiert die Taylorreihe überall gegen .
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

mit zwischen und .

Wir hatten das bisher nur mit einem festen Intervall für x, aber hier kann ja x alles sein. Wie würde ich das hier machen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Problem. Nimm zunächst in Gedanken ein festes an und führe den Beweis. Dann siehst du, dass er in gleicher Weise für jedes beliebige funktioniert und damit für alle .
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Sei fest und beliebig und ist zwischen und . Dann gilt:
, da eben . Darf ich hier überhaupt den Betrag nehmen, bei der Abschätzung, weil das x auch negativ sein kann und hier würde ich nur die positiven x betrachten. verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Umgekehrt wird ein Schuh draus. Wenn gegen Null geht, dann geht auch gegen Null und umgekehrt. Durch den Betrag ersparst du es dir gerade, das Vorzeichen von zu beachten. Dazu solltest du auch noch



verwenden. Bevor du weiter machst, brauchst du noch eine Abschätzung für . Denn auch bei festem kann sich innerhalb seines Bereichs ändern, wenn man ändert.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Denn auch bei festem kann sich innerhalb seines Bereichs ändern, wenn man ändert.

Könntest du das hier genauer erläutern. Hängt nicht der Bereich vom x ab?

Ich bin gerade am überlegen. Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?

Wenn nämlich ist, dann wird sich das auch im negativen befinden und die Konsequenz wäre in dem Fall:



Aber wenn , wird in dem Fall der Nenner größer, also insgesamt kleiner? verwirrt Richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tornadokick
Könntest du das hier genauer erläutern. Hängt nicht der Bereich vom x ab?

Der Bereich hängt von ab, aber das halten wir ja fest. Trotzdem kann sich ändern, wenn man ändert. Mal ein Beispiel: Sei und . Dann liegt zwischen und . Es könnte z. B. sein. Jetzt betrachten wir bei gleichem . Dann liegt das neue zwar im alten Bereich, könnte aber dort einen anderen Wert haben. Es könnte jetzt z. B. sein oder .

Zitat:
Aber wenn , wird in dem Fall der Nenner größer, also insgesamt kleiner? verwirrt Richtig?

Welcher Nenner? Im Nenner steht doch nur . Es ist auch bei negativem . Und ist eine streng monotone Funktion von . Deshalb gilt ohne Fallunterscheidung

tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok, dann gilt:



Jetzt ist halt die Frage, wenn ich weglasse, würde ich das ganze nach unten abschätzen, aber ich denke, das ist nicht zielführend. Also mir ist schon irgendwie bewusst, dass die Fakultät schneller wächst als jede Potenz, aber kann ich das direkt hier anwenden? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle so, dass . Betrachte jetzt |. Das lässt sich schreiben als



Siehst du jetzt, wie es weiter geht?
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das musste ich erstmal verdauen. Muss man das so allgemein machen mit ?

Heißt das jetzt, dass gilt:



Für gilt: und für , da bel. und fest ist.

Jetzt stört eigentlich nur noch, das . Richtig? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tornadokick
Sorry, das musste ich erstmal verdauen. Muss man das so allgemein machen mit ?

Es gibt immer verschiedene Wege. Aber so, wie du argumentierst, geht es nicht.

Zitat:
und für , da bel. und fest ist.

Das ist doch gerade zu beweisen. Auch bei festem ist nicht fest, wenn sich ändert. Das ist der Grund für meinen Vorschlag mit . Dadurch wird die Abschätzung von in zwei Faktoren aufgespalten. Der erste Faktor ist nicht von abhängig, spielt also für Grenzwert keine Rolle, wenn der zweite Faktor gegen Null geht. Und das tut er eben wegen der Wahl von , wie man leicht zeigen kann, aber auch zeigen muss.

Nicht besonders erwähnt habe ich



Das ist elementares Wissen über Grenzwerte. Der Grenzwert einer Folge ändert sich nicht, wenn man eine endliche Menge von Folgengliedern weglässt.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist echt brainfuck. Irgendwie geht das nicht in mein Kopf rein.

Ich geh mal ein wenig zurück:

Wir wollten doch eine obere Schranke finden, um mit dem Sandwich-Theorem zu zeigen, dass für gegen geht.

.

Da zwischen und liegt, kann auch maximal sein und da für alle ist, gilt eben:
und , weil gelten kann? verwirrt



Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Problem jetzt, dass das nicht fest ist, als Beispiel: Sei und , dann gilt . Mit "das sich das x wegen dem n ändert" ist jetzt so gemeint, dass jetzt anstatt eine 2 eine 4 dort steht. verwirrt

Bis hierhin bin ich mitgekommen, aber , da will sich der Schalter irgendwie nicht umschalten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tornadokick
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Problem jetzt, dass das nicht fest ist,

Nein, das ist nicht das Problem. Das kann gar nicht das Problem sein, weil wir doch ein festes annehmen.

Zitat:
als Beispiel: Sei und , dann gilt . Mit "das sich das x wegen dem n ändert" ist jetzt so gemeint, dass jetzt anstatt eine 2 eine 4 dort steht. verwirrt

Nicht das ändert sich wegen dem . Das habe ich nicht gesagt. Das wäre auch Unfug, weil wir doch festhalten. Um aber bei deinem Beispiel zu bleiben, bei und ist . Bei und ist . hat sich geändert, obwohl gleich geblieben ist, weil sich geändert hat.

Zitat:
Bis hierhin bin ich mitgekommen, aber , da will sich der Schalter irgendwie nicht umschalten.

Erläutern wir die Idee an einem Beispiel. Sei und betrachten wir für .







Ja mei, das wird doch immer größer! Wie kann man da auf die absurde Idee kommen



Aber es geht nicht immer so weiter.





Bei wird es das erste mal kleiner und es ist . Also sei . Dann ist



Sei nun . Dann ist



Ich hoffe, die Idee wird jetzt klar. Ich bin erst morgen wieder im Board.
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals für die ausführliche Erklärung, es ist jetzt viel klarer.



Wenn ich das richtig verstehe, kann man das jetzt nach oben abschätzen mit:

und da gilt für in dem Fall . verwirrt


Und wirklich danke dir, dass du mir so hilfst. Einfach Ehrenvoll! ^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du es!
tornadokick Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir vielmals und auch für die Geduld! Wink
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