Kurvenintegrale

14.06.2021, 12:16	kurvig	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegrale Hallo Es geht um die folgenden zwei Kurvenintegrale : Sei $\begin{eqnarray} \vec{F}=\begin{pmatrix} x^2 \\ xy \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{x(t)}=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in [0;10] \end{eqnarray}$ Meine Lösung : $\begin{eqnarray} \int_0^{10}~\begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2t \\ 0 \end{pmatrix}~ dt=\int_0^{10}(t^2+2t^4)~dt=\frac{1}{3} \cdot 10^3+\frac{2}{5} \cdot 10^5=\frac{1000}{3}+40000=\frac{121000}{3} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \vec{F}=\begin{pmatrix} sin(z) \\ cos(z) \\ -(xy)^{\frac{1}{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{x(t)}=\begin{pmatrix} cos^3(t) \\ sin^3(t) \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in [0; \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray}$ Meine Lösung : $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\ -sin(t)cos(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3sin(t)cos^2(t)\\ 3sin^2(t)cos(t) \\ 1 \end{pmatrix}~ dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-sin(t)cos(t)~dt=-\frac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin(2t)~dt=-\frac{1}{2} \cdot \left[-\frac{1}{2} \cdot cos(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ist das soweit in Ordnung ?
14.06.2021, 17:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein CAS bestätigt deine Rechnungen. Beim zweiten Beispiel hättest du auch gleich $\begin{align} \frac{1}{2} \cos^2(t) \end{align}$ als Stammfunktion nehmen können.
15.06.2021, 09:59	kurvig	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Kontrolle, Leopold.

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