Unleserlich! Aussagenlogik - Wer ist der Dieb?

14.06.2021, 22:58

MoinMeister1

Aussagenlogik - Wer ist der Dieb?

Meine Frage:
Es wurde eine Bank überfallen und alle Holzlatten entfernt. Nun stehen nur noch zwei Steine im Stadtpark. Drei Gauner X, Y und Z kommen als Täter in Frage - entweder einer alleine oder mehrere zusammen. Folgende Aussagen sind der Polizei bekannt:
? Wenn X unschuldig ist, dann ist Y schuldig.
? Wenn Y unschuldig ist, dann sind sowohl X als auch Z schuldig.
Die Polizei kennt ihre Informanten und weiß deshalb, dass die erste Aussage wahr ist, die zweite jedoch falsch.
Wer hat die Bank überfallen?

Meine Ideen:
Ich tu mir ein bisschen schwer mit der Aussagelogik und habe versucht das zu vereinfachen:

Regel:
1. A ? B = ¬A ? B

(¬X ? Y) ? (¬(¬Y ? (X ? Z)))

Umgeschrieben nach Regel 1:

(X ? Y) ? (¬ (Y ? (X ? Z)))

(X ? Y) ? (¬Y ? ¬X ? ¬Z)

Ausmultiplizieren:

X¬Y ? 0 ? X¬Z ? 0 ? ¬XY ? Y¬Z

X¬Y ? X¬Z ? ¬XY ? Y¬Z

Ausklammern:

X (¬Y ? ¬Z) ? Y (¬X ? ¬Z)

Aber ich komme nicht mehr weiter.

Ich weiß nicht mal, ob mein Ansatz richtig ist.

Evtl. mit einer Wahrheitstabelle?

15.06.2021, 11:23

Huggy

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RE: Aussagenlogik - Wer ist der Dieb?

Zitat:

Original von MoinMeister1
Evtl. mit einer Wahrheitstabelle?

Das kann man machen. Mit etwas Überlegung geht es auch ohne.

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist schuldig. Analog für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} a=\neg x \rightarrow y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\neg (\neg y \rightarrow (x \land z)) \end{eqnarray*}$

Mittels der Regel $\begin{eqnarray*} (u \rightarrow v) = (\neg u \lor v) \end{eqnarray*}$ kann das umgeformt werden zu

$\begin{eqnarray*} a= x \lor y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\neg (y \lor (x \land z)) \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder beides wahre Aussagen sein müssen. Aus $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ folgt, dass der Ausdruck in der Klammer eine falsche Aussage sein muss. Dann müssen aber $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \land z \end{eqnarray*}$ beides falsche Aussagen sein. Was folgt daraus?

15.06.2021, 11:43

MoinMeister1

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Ah sorry,

das hat irgendwie die Zeichen nicht richtig eingesetzt (sehe gerade, dass überall ? steht)
Also ich bin schon so weit gekommen

(X v Y) ^ (¬ (Y v (X ^ Z)))

(X v Y) ^ (¬Y ^ ¬X v ¬Z)

Ausmultiplizieren:

X¬Y ^ 0 v X¬Z v 0 ^ ¬XY v Y¬Z

X¬Y v; X¬Z ^ ¬XY v Y¬Z

Ausklammern:

X (¬Y v; ¬Z) ^ Y (¬X v ¬Z)

Aber ich weiß nicht mehr weiter..

15.06.2021, 11:45

MoinMeister1

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Ich habe mal eine Wahrheitstabelle aufgestellt

Linke Seite:

X Y | X v Y
-------------------------
1 1 | 1
1 0 | 1
0 1 | 1
0 0 | 0

Rechte Seite:

X Y Z | ¬(Y v (X ^ Z))
-----------------------------------------
1 1 1 | 0
1 1 0 | 0
1 0 1 | 0
1 0 0 | 1
0 1 1 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | 1
0 0 0 | 1

Aber was sagt die mir jetzt?

15.06.2021, 12:27

Huggy

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Mir ist nicht klar, weshalb du ausmultiplizieren oder eine Wahrheitstabelle aufstellen willst, da ich dir doch einen einfacheren Weg aufgezeigt habe. Deine Wahrheitstabelle ist nicht korrekt. Ich führe mal meinen Weg zuende.

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder beides wahre Aussagen sein müssen. Aus $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ folgt, dass der Ausdruck in der Klammer eine falsche Aussage sein muss. Dann müssen aber $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \land z \end{eqnarray*}$ beides falsche Aussagen sein.

Wir wissen also aus $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ falsch ist. Damit folgt aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wahr ist. Da aber nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \land z \end{eqnarray*}$ falsch ist, muss $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ falsch sein.

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist der Dieb. Die beiden anderen sind unschuldig. Das sollte sich auch aus einer korrekten Wahrheitstabelle ergeben.

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