Massenpunkt im Schwerefeld

15.06.2021, 11:24

Danny44

Massenpunkt im Schwerefeld

Meine Frage:
Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Die generalisierten Koordinaten bekommt man aus den Zwangsbedingungen.

Dann muss man die Differentialgleichung lösen

16.06.2021, 13:25

Huggy

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RE: Massenpunkt im Schwerefeld

Zitat:

Original von Danny44
Die generalisierten Koordinaten bekommt man aus den Zwangsbedingungen.

Das ist eine merkwürdige Formulierung. Wenn du damit meinst, man solle wegen der Zwangsbedingung in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r, \varphi) \end{eqnarray*}$ rechnen und wegen der Zwangsbedingung brauche man nur $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ als generalisierte Koordinate, so ist das zwar richtig, entspricht aber nicht der Aufgabenstellung. Diese Vorgehen ergibt die Lagrange-Gleichungen 2. Art. Man soll aber laut Aufgabe die Lagrange-Gleichungen 1. Art verwenden.

Nun spricht nichts dagegen, auch bei den Lagrange-Gleichungen 1. Art in Polarkoordinaten zu rechnen. Dann muss man aber trotzdem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ zunächst als 2. Koordinate neben $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mitführen und zusätzlich die Zwangsbedingung $\begin{eqnarray*} g(r, \varphi)=r-R=0 \end{eqnarray*}$ als weitere Gleichung. Mit

$\begin{eqnarray*} L(r, \dot r, \varphi, \dot\varphi)=T-V \end{eqnarray*}$

lauten die Lagrange-Gleichungen 1. Art

$\begin{eqnarray*} \frac d {dt} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot r}\right )-\frac {\partial L}{\partial r}=\lambda \frac {\partial g}{\partial r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dt} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot\varphi}\right )-\frac {\partial L}{\partial \varphi}=\lambda \frac {\partial g}{\partial \varphi} \end{eqnarray*}$

Dabei stehen auf der rechten Seite gerade die Zwangskräfte. Der Moment des Abhebens ist durch $\begin{eqnarray*} \text{Zwangskräfte}= 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Der einfachste Lösungsweg geht natürlich über die Energieerhaltung und die erforderliche Zentripetalkraft für die Bewegung auf dem Kreis. Aber damit folgt man auch nicht der Vorgabe der Aufgabe über den zu verwendenden Weg.

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