Endliches Erzeugnis

15.06.2021, 16:23

Cauchyy

Endliches Erzeugnis

Hallo! Folgende Frage hätte ich

Betrachte für $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ das Ideal $\begin{eqnarray*} I_d = \{P \in R[x_1,\cdots,x_n], ord_0(P) \geq d\}. \end{eqnarray*}$ Zeige, dass $\begin{eqnarray*} I_d \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt ist und bestimme ein Erzeugendensystem.

Leider tappe ich ein bisschen im Dunkeln, was diese Aufgabe betrifft. Ich vermute sehr stark, dass man die Aufgabe mit dem Hilbertschen Basissatz lösen kann, aber weiß leider nicht, wie ich diesen hier richtig anwenden kann.

Hinzu kommt für mich folgender Knoten: die einzelnen Monome $\begin{eqnarray*} a_kx^{k} \end{eqnarray*}$ eines jeden Polynoms aus $\begin{eqnarray*} R[x_1,\cdots,x_n] \end{eqnarray*}$ sind ja bestimmt durch $\begin{eqnarray*} a_kx^{k} = a_kx_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1 + k_2 + \cdots + k_n = k \end{eqnarray*}$ . Ich tue mir etwas schwer mir vorzustellen, wie hierfür nun ein geeignetes Erzeugendensystem ausschauen könnte.

15.06.2021, 19:16

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RE: Endliches Erzeugnis
$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist vermutlich ein Ring (mit Einselement?). Aber was ist $\begin{eqnarray*} ord_0(P) \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2021, 19:39

Cauchyy

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RE: Endliches Erzeugnis
Richtig, R soll ein Ring sein und $\begin{eqnarray*} ord_0(P) \end{eqnarray*}$ ist die Ordnung bzw. der Untergrad von P, der definiert wurde als $\begin{eqnarray*} ord_0(P) = min\{i \in \mathbb{N} | p_i \neq 0\} \end{eqnarray*}$ .

Beispiel für die Ordnung eines Polynoms in $\begin{eqnarray*} R[x,y,z] \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} P(x,y,z) = xyz^{2} + y^{3} + xz \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} ord_0(P) = 2 \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} xz = x^{1}z^{1} \end{eqnarray*}$ , was in Summe 2 ergibt)

15.06.2021, 20:11

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RE: Endliches Erzeugnis
Betrachten wir mal den Fall n=1. Dann kann man aus jedem Summanden des Polynoms den Faktor $\begin{eqnarray*} x^d \end{eqnarray*}$ ausklammern. Also ist $\begin{eqnarray*} x^d \end{eqnarray*}$ der Erzeuger.
Für beliebiges n argumentiert man letztlich genauso, nur für jedes homogenen Polynom separat und mit passenden Monomen. Jetzt muss man sich noch überlegen, wie man die Zahl d als Summe darstellen kann.

15.06.2021, 22:09

Cauchyy

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RE: Endliches Erzeugnis

Zitat:

Original von URL
Betrachten wir mal den Fall n=1. Dann kann man aus jedem Summanden des Polynoms den Faktor $\begin{eqnarray*} x^d \end{eqnarray*}$ ausklammern. Also ist $\begin{eqnarray*} x^d \end{eqnarray*}$ der Erzeuger.
Für beliebiges n argumentiert man letztlich genauso, nur für jedes homogenen Polynom separat und mit passenden Monomen. Jetzt muss man sich noch überlegen, wie man die Zahl d als Summe darstellen kann.

Für den Fall n=1 erschließt sich mir das ganze auch relativ einfach. Aber alles darüber hinaus wird etwas zu unübersichtlich für mich. Beispiel: ist $\begin{eqnarray*} X^{3}Y^{2} - Y^{5} + X^{4}Y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \textit{ein} \end{eqnarray*}$ Monom vom Grad 5 oder sind das mehrere Monome vom Grad 5?

Wenn der zweite Fall gilt, dann wäre doch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger dieser Monome, oder? Sprich, wenn meine Monome einen gemeinsamen Faktor haben (also eines der $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, \cdots, X_n \end{eqnarray*}$ ist in jedem Monom vom gleichen Grad vorhanden), dann ist das mein Erzeuger und wenn nicht, dann wähle ich die 1 als Erzeuger. So wäre ich jetzt hier vorgegangen.

Zuerst einmal muss ich mir aber im Klaren darüber sein, dass dieses Ideal endlich erzeugt wird. Wie zeige ich das am besten?

15.06.2021, 23:28

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RE: Endliches Erzeugnis
Nehmen wir mal d=4 und das homogene Polynom $\begin{eqnarray*} X^{3}Y^{2} - Y^{5} + X^{4}Y \end{eqnarray*}$ .
Jeder Summand hat genau fünf Faktoren, z.B. $\begin{eqnarray*} XXXYY \end{eqnarray*}$ , also kann ich doch aus jedem Summanden ein Produkt aus vier Faktoren abspalten, z.B. $\begin{eqnarray*} XXXY \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} XXYY \end{eqnarray*}$ . Welchen Faktor ich nehme, ist egal. Jedenfalls wird jeder Summand zu einem Produkt aus vier (beachte d=4) Faktoren und einem weiteren, z.B. $\begin{eqnarray*} XXYY\ X \end{eqnarray*}$ . Damit ist jeder Summand ein Vielfaches eines homogenen Polynoms vom Grad d=4. Die Erzeuger sind also die homogenen Polynome vom Grad d
Edit: Der letzte Satz ist falsch. Erzeuger sind die Monome vom Grad d, d.h. Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1+k_2+\ldots +k_n=d \end{eqnarray*}$

16.06.2021, 14:40

Cauchyy

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RE: Endliches Erzeugnis

Zitat:

[i]
Edit: Der letzte Satz ist falsch. Erzeuger sind die Monome vom Grad d, d.h. Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1+k_2+\ldots +k_n=d \end{eqnarray*}$

Ach ok, danke dir! Denn das ist mehr als nur verständlich für mich.

Folgt dann aus der endlichen Anzahl an Kompositionen von d auch, dass das Ideal endlich erzeugt ist? Oder braucht man dafür ein anderes Argument?

16.06.2021, 16:46

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RE: Endliches Erzeugnis
Das reicht dann.

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