T-Polynom

16.06.2021, 13:01	tornadokick	Auf diesen Beitrag antworten »
T-Polynom Berechnen Sie für $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ die Taylorpolynom 2. Grades mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 = 1 \end{eqnarray}$ . Schätzen sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für $\begin{eqnarray} \|x-1\| < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ab. Ideen: Es gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = T_2(x) + R_2(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_2(x) =\sqrt{2} + \frac{1}{2} 2^{-\frac{1}{2}}(x-1) - \frac{1}{8} 2^{-\frac{3}{12}}(x-1)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2(x)= \frac{3}{48} (1+\xi)^{-\frac{5}{2}}(x-1)^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Da ich nicht besonders gut im Abschätzen bin, würde ich mich freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte. $\begin{eqnarray} \|R_2(x)\| = \left\|\frac{3}{48} (1+\xi)^{-\frac{5}{2}}(x-1)^3\right\| = \frac{3}{48} \frac{1}{\sqrt{(\|1+\xi\|)^5}}\left\|(x-1)\right\|^3 < \frac{3}{48} \frac{1}{\sqrt{(\|1+\xi\|)^5}}\frac{1}{2^3} < \frac{3}{48} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^5}}\frac{1}{2^3} \end{eqnarray}$ . Ist das soweit richtig?
16.06.2021, 13:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja: Worst Case für die Restgliedabschätzung ist, wenn $\begin{eqnarray} \|x-1\| \end{eqnarray}$ maximal und $\begin{eqnarray} \|1+\xi\| \end{eqnarray}$ minimal ist, und das wäre für $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ der Fall, das hast du schon ganz richtig gemacht.
16.06.2021, 13:25	tornadokick	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich zu lesen. Ich danke dir vielmals!

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