Betragsfunktion injektiv, surjektiv |
| 16.06.2021, 20:33 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Betragsfunktion injektiv, surjektiv Gegeben sei eine Funktion f : R -> R. Die Funktion |f|: R -> [0,?) (der "Betrag von f") ist gegeben durch |f|(x) = |f(x)| für alle x ? R. Beweisen oder widerlegen Sie: (a) Ist f injektiv, so ist auch |f| injektiv. (b) Ist |f| injektiv, so ist auch f injektiv. (c) Ist f surjektiv, so ist auch |f| surjektiv. (d) Ist |f| surjektiv, so ist auch f surjektiv. PS: Es wurde das Elementzeichen nicht übernommen, alle Fragezeichen stehen dafür, außer das nach der 0 im Intervall 0 Richtung unendlich bei R -> [0, Richtung unendlich) Meine Ideen: Ich hatte mal mit der Injektivität der Betragsfunktion generell angefangen, was ja nicht geht wegen 1 ungleich -1, aber wie ich mit der Aufgabe anfange, weiß ich nicht. |
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| 16.06.2021, 22:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du mußt dir von den Begriffen injektiv und surjektiv ein Bild machen, damit du versteht, worum es da geht. Nimm als Beispiele einfache Funktionen wie oder und überprüfe, inwieweit die Vorausetzungen und Behauptungen in (a) bis (d) zutreffen oder nicht. Wenn keine wahre Aussage entsteht, dann hast du bereits ein Gegenbeispiel gefunden und bist fertig. Wenn eine wahre Aussage entsteht, so überlege, ob das nur an dem speziellen Beispiel liegt oder möglicherweise verallgemeinerungsfähig ist. |
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| 17.06.2021, 08:20 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich komm aber irgendwie nicht klar wie ich das auf die jeweiligen Behauptungen in a bis d überprüfen soll. |
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| 17.06.2021, 08:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe jetzt nicht, wo das Problem ist. Leopold hat dir doch 2 Funktionen als Beispiele genannt. Jetzt könntest du doch mal prüfen, ob die Aussage a mit f(x) = x stimmt. |
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| 17.06.2021, 09:15 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie mach ich das? Sorry, dass ich so dumme Fragen stelle, aber ich bin das erste Mal jetzt richtig lost haha |
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| 17.06.2021, 09:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also nun nimm mal f(x) = x und schau mal, ob diese Funktion injektiv ist. |
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| 17.06.2021, 09:30 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das versuche ich, also das hab ich schon verstanden, aber wie mache ich das mit der Überprüfug auf Injektivität und Surjektivität |
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| 17.06.2021, 09:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie immer hilft in solchen Fällen ein Blick in die Definition. Ich hoffe mal, daß du die kennst. Am besten fängst du mit der Injektivität an. |
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| 17.06.2021, 09:40 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja okay, danke. Aber wie verbinde ich jetzt Definition und diese Aufgabe, das ist das Problem, was ich habe. |
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| 17.06.2021, 10:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann schreibe doch mal hin, was für das Vorliegen der Injektivität erfüllt sein muß (also die Definition). Dann schauen wir mal, wie das mit der Funktion f(x) = x aussieht. |
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| 17.06.2021, 11:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@LeBossOfDoomness Falls du eher der visuelle Typ bist: Injektiv heißt insbesondere ja auch, dass es keine zwei verschiedenen Argumente mit dem selben Funktionswert geben darf. Auf den Funktionsgraphen bezogen heißt das, dass keine horizontale Linie (d.h. Parallele zur x-Achse) den Graphen in mehr als einem Punkt schneiden darf. Was das hier bei den Beispielen sowie zugehörigen bedeutet, magst du dir mal selbst anschauen: |
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| 17.06.2021, 13:45 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ware doch nur bei x=0 der Fall, und, wie oben gesagt für x=1 nicht, weil |x| dann -1 und 1 zugeordnet wird. Für a passt das nicht und bei b ist |x| nur bei 0 injektiv, ansonsten nicht. Oder bin ich komplett aufm falschen Dampfer |
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| 17.06.2021, 13:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Injektivität ist eine Eigenschaft der Gesamtfunktion, nicht einzelner Stellen. Insofern bist du irgendwie auf dem falschen Dampfer mit dieser Formulierung "bei 0 injektiv". 
Die Funktion ist injektiv, oder sie ist es nicht - dazwischen gibt es keine Grauzonen!!! |
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| 17.06.2021, 13:56 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber die Aufgabe ist doch bei b) "Wenn |f| injektiv, dann ist f auch injektiv"... Das ist doch nur bei x=0 der Fall |
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| 17.06.2021, 13:57 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also nur dann kann |x| injektiv sein, oder nicht |
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| 17.06.2021, 14:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie HAL 9000 schon sagte: Injektivität ist eine Eigenschaft der gesamtem Funktion. Deswegen reite ich ja so sehr auf der Definition rum, die du anscheinend nicht posten willst. Und die eigentliche Aufgabe lautet: "Beweisen oder widerlegen Sie:". Bei jeder Teilaufgabe mußt du also schauen, ob du das beweisen kannst oder ob du ein Gegenbeispiel angeben kannst. |
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| 17.06.2021, 14:14 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass die Definition gewünscht ist, hatte ich übersehen. Diese ist ja für eine Gleichung f(x)=y in der Funktion f: M -> N Für alle x1, x2 im M: f(x1) = f(x2) => x1 = x2, sodass f(x)=y für y in N höchstens eine Lösung x in M besitzt |
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| 17.06.2021, 14:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK. Jetzt schauen wir mal, ob die Funktion f: x --> y mit y := f(x) = x injektiv ist. Dazu mußt du schauen, ob diese Implikation: immer (also für alle x1 und x2) erfüllt ist. |
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| 17.06.2021, 14:29 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja nimmt man einfach 1 und 2, dann 1 ungleich 2, also gegenbeispiel |
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| 17.06.2021, 14:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, jetzt lesen wir mal die Definition aufmerksam. Ist bei deinem Beispiel f(1) = f(2) ? Offensichtlich nicht. Gesucht werden aber Fälle, wo ist. Gibt es solche Fälle mit unterschiedlichem x1 und x2 ? |
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| 17.06.2021, 14:51 | LeBossOfDoomness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jegliche reele Zahl >0 und ihr negatives Pendant? |
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| 17.06.2021, 16:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dir ist schon klar, dass klarsoweit momentan über die Funktion redet?
Allem Anschein bist du mit den Gedanken stattdessen bereits bei der Betragsfunktion. Das kann mal passieren, aber bei dir sind diese Unkonzentriertheiten leider der Dauerzustand. Das ist für die Helfer dann auf die Dauer immer weniger lustig - und ziemlich nervenaufreibend. |
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