Mittelpunkt eines Intervalls schätzen

17.06.2021, 13:20

AnnaMarie99

Mittelpunkt eines Intervalls schätzen

Meine Frage:
Hallo smile

Ich stehe vor folgendem Schätzproblem:
Es soll der Mittelpunkt eines Intervalls [a,b] geschätzt werden, mit a und b unbekannt.
$\begin{eqnarray*} (X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ sollen hier unabhängige auf dem Intervall [a,b] gleichverteilte ZV sein.
Geschätzt werden soll anhand einer Realisierung der ZV.
Die Aufgabe ist jetzt im ersten Schritt das Schätzproblem aufzuschreiben.

Meine Ideen:
der Mittelpunkt ist hier ja gegeben durch $\begin{eqnarray*} \theta = (a+b)/2 \end{eqnarray*}$
und es ist $\begin{eqnarray*} X_i \in [a,b] \end{eqnarray*}$ da man a und b aber nicht kennt ist der zu schätzende W-Raum $\begin{eqnarray*} (R^n, P(R^n) \end{eqnarray*}$ oder?
Und genauso bei $\begin{eqnarray*} \theta \in R \end{eqnarray*}$ .
Die W´keitsfunktion von einer Realisierung hätte ich geschrieben als:
$\begin{eqnarray*} P_{\theta}(x) = \prod_i^n (x_i-a)/(b-a) = \prod_i^n (x_i-a)/(2\theta -2a) \end{eqnarray*}$ .
Da habe ich ja aber immer noch a als Unbekannte und ich glaube auch nicht wirklich, dass ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

17.06.2021, 13:34

HAL 9000

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RE: Mittelpunkt eines Intervalls schätzen
Sieht ein wenig wild aus, was du da treibst.

"Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Realisierung" ???

Falls du damit die Dichtefunktion einer Realisierung $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ meinst (von Wahrscheinlichkeitsfunktion spricht man meines Wissens nach nur bei diskreten Größen, um welche es sich hier NICHT handelt), dann ist das total falsch - die ist

$\begin{eqnarray*} P(x) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{b-a}\cdot 1_{[a,b]}(x_i) = \frac{1}{(b-a)^n}\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[a,b]}(x_i) \end{eqnarray*}$

und die hängt nicht nur von $\begin{eqnarray*} \theta=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , sondern von beiden Intervallparametern $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ab.

Was die eigentliche $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ -Schätzung betrifft, da gibt es nicht DIE eine Schätzung, sondern unzählige Möglichkeiten - u.a. auch abhängig davon, welches Schätzprinzip du zugrunde legen willst.

Ein paar Kandidaten:

a) Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

b) Median $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(\min(x) + \max(x)\right) \end{eqnarray*}$

17.06.2021, 14:10

AnnaMarie99

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Danke für deine Antwort,
das mit der Dichtefunktion hab ich verwechselt, aber was ich immer noch nicht verstehe ist, wie man das Schätzproblem zu dem Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ formal richtig aufschreibt.
Also so wie es bspw. in Wikipedia definiert ist.
In der Dichtefunktion von dir kommt $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ja gar nicht vor.

17.06.2021, 15:34

AnnaMarie99

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Also die Aufgabe lautet man solle das Schätzproblem vollständig aufschreiben und ich weiß nicht wirklich was ich da machen soll.

17.06.2021, 17:10

HAL 9000

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Ich kann jetzt nur vermuten, dass es um die Einhaltung dieser Formalie geht, dass du also diese ganzen Komponenten hier erkennen und auflisten sollst - ist das so?

Dann ist NICHT $\begin{eqnarray*} \theta=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , denn dieser Wert allein repräsentiert nicht die Verteilungsparameter, sondern es ist $\begin{eqnarray*} \theta=(a,b) \end{eqnarray*}$ ein zweidimensionaler Parametervektor. In dem Sinne ist mein obiges

$\begin{eqnarray*} P_{\theta}(x) = P_{(a,b)}(x) = \frac{1}{(b-a)^n}\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[a,b]}(x_i) \end{eqnarray*}$

auch zu verstehen, den diese Dichtefunktion darf nur von den Stichrobenwerten $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ sowie dem Parametervektor $\begin{eqnarray*} \theta=(a,b) \end{eqnarray*}$ abhängen, von NICHTS anderem!

Geschätzt werden soll hier nun $\begin{eqnarray*} g(\theta) = g(a,b) = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h., der Intervallmittelpunkt, welcher bei dieser Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ zugleich auch der Erwartungswert dieser Gleichverteilung ist.

17.06.2021, 18:01

AnnaMarie99

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okay vielen lieben Dank, das hab ich jetzt verstanden, in den Beispielen die Ich gesehen habe war immer $\begin{eqnarray*} g(\theta)= \theta \end{eqnarray*}$ deshalb bin Ich fälschlicherweise davon ausgegangen, dass das immer so ist.
Und du hast recht in der Aufgabe geht es nur darum die Formalien richtig aufzuschreiben.

Was ich bei dem Stichprobenraum noch nicht so ganz verstanden habe ist, ob dieser durch

$\begin{eqnarray*} ([a,b]^n, B([a,b]^n) \end{eqnarray*}$ oder durch $\begin{eqnarray*} (R^n, B(R^n) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.
(hier sollen R die reellen Zahlen und B die borelmessbaren Mengen sein)

17.06.2021, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von AnnaMarie99
Was ich bei dem Stichprobenraum noch nicht so ganz verstanden habe ist, ob dieser durch

$\begin{eqnarray*} ([a,b]^n, B([a,b]^n) \end{eqnarray*}$ oder durch $\begin{eqnarray*} (R^n, B(R^n) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Letzteres: $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sind gewissermaßen da noch gar nicht bekannt, also muss man auf Nummer Sicher gehen und eine allgemeine Wertemenge angeben, die alle denkbaren $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ umfasst, und das ist nun mal nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

17.06.2021, 18:21

AnnaMarie99

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Okay super und $\begin{eqnarray*} \theta \in R^2 \end{eqnarray*}$ mit dem selben Argument.
Vielen Dank nochmal für die Hilfe, ich hab jetzt alles verstanden smile

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