Multiplikative Gruppe zeigen

17.06.2021, 17:41

ichbinneu

Multiplikative Gruppe zeigen

Guten Tag,

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M := \{m+n\sqrt{3} \pmod p : 0\leq m,n<p, m+n>0\} \end{eqnarray*}$ eine multiplikative Gruppe ist, wobei p eine Primzahl ist und 3 ist Quadratischer Nichtrest mod p.

Meine Ideen:
- Assoziativität und Kommutativität gelten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also auch in M
- Mit $\begin{eqnarray*} (1,0)\in M \end{eqnarray*}$ existiert ein linksneutrales Element
- Ein Linkinverses lässt sich angeben mit $\begin{eqnarray*} (m,n)^{-1} = (\frac{m}{m^2-3n^2}, \frac{-n}{m^2-3n^2}) \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} m^3 -3n^2 = 0 \end{eqnarray*}$ nur für m=n=0 erfüllt, da sonst 3 ein Quadratischer Rest wäre.

Es bleibt also die Abgeschlossenheit zu zeigen.
Für $\begin{eqnarray*} (m,n), (m', n') \in M \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (m,n)\cdot (m', n') = (mm' + 3nn', m'n + mn') \end{eqnarray*}$ .
Nun meine Frage, denn ich glaube hier verstehe ich die Anforderungen nicht. Müssen m und n so gewählt sein, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq m,n <p \end{eqnarray*}$ gilt? Denn nach Reduktion mod p gilt das ja ohnehin. Von dahe wäre dann ja zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} mm' + 3nn' + mn' + m'n >0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Oder wo muss ich genau ansetzen?

20.06.2021, 11:46

Elvis

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Warum ist bei der Definition der Menge M nicht angegeben, in welcher Menge die Elemente m und n liegen ? Für $\begin{eqnarray*} (m,n)\in \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} (m,n)^{-1}\notin \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ , so dass ich die Definition des inversen Elements nicht verstehe. Sind quadratische Reste mod p für rationale oder reelle Zahlen definiert ? Warum wäre 3 ein quadratischer Rest mod p für m²-3n²=0 und m oder n ungleich 0 ?

20.06.2021, 12:30

ichbinneu

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Hallo Elvis,

Ich muss mich entschuldigen. Die Elemente werden in der Tat aus Z gewählt. Da p prim ist, existiert (m^2 -3n^2)^(-1) für m^2-3n^2 ungleich null. Das soll die Bruch Schreibweise bedeuten.

Aus m^2=3n^2 folgt für n ungleich 0 Mod p, dass (m/n)^2 =3 Mod p im Widerspruch zur Annahme.
Für n gleich null Mod p folgt m gleich null, was ebenfalls ausgeschlossen wurde.
(Bitte entschuldige die.schreibweise, ich bin gerade nicht am Laptop. Hoffe es ist trotzdem lesbar).

Viele Grüsse und danke

20.06.2021, 19:52

Elvis

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Verstehe, danke. Dann ist noch die Abgeschlossenheit von M gegenüber der Inversenbildung und gegenüber der Multiplikation zu zeigen. (Mir fehlt allerdings noch der Durchblick, es ist viel zu heiß.)

20.06.2021, 21:49

Elvis

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Warum ist für $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ und das zugehörige inverse $\begin{eqnarray*} (\frac m x, \frac {-n} x) \end{eqnarray*}$ die Summe nicht 0?
Gilt nicht $\begin{eqnarray*} \frac m x+\frac {-m} x=\frac 0 x=0 \end{eqnarray*}$ ?

20.06.2021, 23:54

Leopold

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Ich denke, $\begin{align*} m \end{align*}$ und $\begin{align*} n \end{align*}$ sind hier als ganze Zahlen modulo $\begin{align*} p \end{align*}$ aufzufassen. Oder sagen wir so: $\begin{align*} m,n \end{align*}$ sind Elemente von $\begin{align*} \mathbb{Z}_p \end{align*}$ , dem Körper mit $\begin{align*} p \end{align*}$ Elementen. Am besten faßt man die Elemente von $\begin{align*} M \end{align*}$ als Zahlenpaare auf, wie das ichbinneu bereits getan hat.

$\begin{align*} M = \left\{ (m,n) \left| \, m,n \in \mathbb{Z}_p, \text{nicht beide zugleich} \ 0 \right. \right\} \end{align*}$

Die Multiplikation in $\begin{align*} M \end{align*}$ ist durch $\begin{align*} (a,b)(c,d) = \left( ac + 3bd , ad + bc \right) \end{align*}$ definiert. Sie ist offensichtlich kommutativ. Daß sie auch assoziativ ist, sieht man ihrer Herkunft an, beim formalen Rechnen mit $\begin{align*} \sqrt{3} \end{align*}$ .

Die Inversenbildung in $\begin{align*} M \end{align*}$ führt auf die Gleichung:

$\begin{align*} \left( m,n \right) \left( x,y \right) = 1 \end{align*}$

Hierin sind $\begin{align*} m,n \in \mathbb{Z}_p \end{align*}$ vorgegeben, nicht beide zugleich 0, und $\begin{align*} x,y \in \mathbb{Z}_p \end{align*}$ gesucht. Daraus erhält man das lineare Gleichungssystem

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ mx + 3ny = 1 \, , \ \ \ \text{(2)} \ nx+my = 0 \end{align*}$

Seine Determinante ist $\begin{align*} \Delta = m^2 - 3n^2 \in \mathbb{Z}_p \end{align*}$ . Zu zeigen ist, daß $\begin{align*} \Delta \neq 0 \end{align*}$ ist. Aus $\begin{align*} \Delta = 0 \end{align*}$ würde $\begin{align*} m^2 = 3n^2 \end{align*}$ folgern. Wäre $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ , so wäre auch $\begin{align*} m=0 \end{align*}$ , was nach Voraussetzung über $\begin{align*} m,n \end{align*}$ nicht möglich ist. Also darf man in $\begin{align*} \mathbb{Z}_p \end{align*}$ durch $\begin{align*} n \end{align*}$ dividieren und erhält:

$\begin{align*} \left( \frac{m}{n} \right)^2 = 3 \end{align*}$

In der Sprache von $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ wäre also 3 quadratischer Rest modulo $\begin{align*} p \end{align*}$ . Das ist aber ausgeschlossen. Somit ist $\begin{align*} \Delta \neq 0 \end{align*}$ nachgewiesen. Das lineare Gleichungssystem ist somit eindeutig lösbar und die Existenz von Inversen in $\begin{align*} M \end{align*}$ gesichert.

Zitat:

Original von Elvis
Gilt nicht $\begin{eqnarray*} \frac m x+\frac {-m} x=\frac 0 x=0 \end{eqnarray*}$ ?

Die Konflikte rühren von unklaren Bezeichnungen her. Man sollte die Koordinaten konsequent als Elemente von $\begin{align*} \mathbb{Z}_p \end{align*}$ auffassen und nicht plötzlich wieder mit $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ herumhantieren. Insofern finde ich die Aufgabenstellung unglücklich.

Nimmt man zum Beispiel $\begin{align*} p=5 \end{align*}$ und $\begin{align*} (m,n) = (2,2) \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} \Delta = 2^2 - 3 \cdot 2^2 = 4 - 3 \cdot 4 = 2 \end{align*}$ . Das Inverse von $\begin{align*} (2,2) \end{align*}$ ist dann tatsächlich

$\begin{align*} (2,2)^{-1} = \left( \frac{2}{2} , \frac{-2}{2} \right) = \left( 1,4 \right) \ \ \text{mit} \ \ 1+4=0 \end{align*}$

21.06.2021, 00:20

ichbinneu

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Doch. Aber was ist genau der Hintergrund der Frage?

21.06.2021, 00:27

ichbinneu

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Ah,mit Leopolds Beitrag ist mir das klarer geworden. Sorry, habe den überlesen. Schaue morgen (heute) wieder ausführlich dabei. Danke für all eure Hilfe

21.06.2021, 09:42

Leopold

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Im Falle $\begin{align*} p=5 \end{align*}$ ist $\begin{align*} M \end{align*}$ eine Gruppe der Ordnung $\begin{align*} 5^2-1 = 24 \end{align*}$ . Sie ist zyklisch und wird zum Beispiel von $\begin{align*} (1,1) \end{align*}$ erzeugt.

21.06.2021, 16:13

ichbinneu

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Elvis
Gilt nicht $\begin{eqnarray*} \frac m x+\frac {-m} x=\frac 0 x=0 \end{eqnarray*}$ ?

Aber man wählt doch $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} m+n>0 \end{eqnarray*}$ . Und nicht $\begin{eqnarray*} m+n > 0 \pmod p \end{eqnarray*}$ . verwirrt

21.06.2021, 18:19

Elvis

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Das kann nicht sein, denn das wäre keine einschränkende Bedingung. Für n+m=0 könnte man dann ganz einfach (n+p)+(m+p)=2p>0 nehmen. modulo p wäre das gleich. Leopold hat bestens richtiggestellt, wie die Definition von M sinnvoll zu formulieren ist. Tipp: Erstens Aufgabe besser formulieren. Zweitens Aufgabe bearbeiten.

28.07.2021, 15:12

Malcang

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Hallo nochmal,

mir macht bei dieser Aufgabe immernoch die Abgeschlossenheit zu schaffen.
Ich habe die Gruppe nun wie von Leopold vorgeschlagen formuliert:
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in\mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ , nicht beide null.

Dann ist $\begin{eqnarray*} (a,b)(c,d) = (ac+3bd, ac+db) \end{eqnarray*}$ .
Nun müsste ich doch noch zeigen, dass einer der beiden Einträge ungleich null ist, damit die Abgeschlossenheit gezeigt ist.
Aber da harkt es bei mir leider noch sehr.
Ich komme da aktuell auf keien grünen Zweig und brauche nochmal einen Denkanstoß verwirrt

28.07.2021, 17:51

Elvis

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} (a,b)(c,d) = \left( ac + 3bd , ad + bc \right) \end{align*}$

Zitat:

Original von ichwarneu
$\begin{eqnarray*} (a,b)(c,d) = (ac+3bd, ac+db) \end{eqnarray*}$ .

Das sind zwei verschiedene Definitionen. Bei Leopold ist (1,0)(0,1)=(0,1). Bei ichwarneu ist (1,0)(0,1)=(0,0)

28.07.2021, 19:40

Malcang

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Hallo Elvis,

danke für diesen Hinweis. Das ist ein Typo. Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren, nur 15 Minuten nach absenden. Ist das Einstellungssache hier im Forum?

Naja, jedenfalls hier nochmal die Angaben.
Seien $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und nicht beide null. Außerdem p Primzahl mit $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{p})=-1 \end{eqnarray*}$ . Betrachte $\begin{eqnarray*} G_p := \left\{ m+n\sqrt{3} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} (m,n)\cdot (m',n') = (m\cdot m' + 3n\cdot n', m\cdot n' + n\cdot m') \end{eqnarray*}$

Um die Abgeschlossenheit zu zeigen müsste ich jetzt zeigen, dass nicht beide Einträge null sind?
Aber da harkt es bei mir, da ich ja 4 "Unbekannte" habe verwirrt

28.07.2021, 22:02

Malcang

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Ich glaub ich hab's.

Nehme an, $\begin{eqnarray*} (m,n)\cdot (m',n') = (m\cdot m' + 3n\cdot n', m\cdot n' + m'\cdot n) = (0,0) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} m,m',n,n' \end{eqnarray*}$ sund ungleich null, also ist deren Inverses in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ definiert.

Dann sind $\begin{eqnarray*} m\cdot m' + 3n\cdot n' = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\cdot n' + m'\cdot n = 0 \end{eqnarray*}$ .
Aus $\begin{eqnarray*} m\cdot n' + m'\cdot n = 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} m' = -\frac{m\cdot n'}{n} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} -\frac{m^2\cdot n'}{n} + 3n\cdot n' = 0 \Leftrightarrow 3n^2 = m^2 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

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