Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4

17.06.2021, 22:11	Lizzyli	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4 Meine Frage: Hallo zusammen, Ich versuche gerade a) den Normalisator von S3 in S4 und b) den Zentralisator der Permutation (1 2)(3 4) in S4 zu bestimmen. Aber irgendwie komme ich nicht weiter... Meine Ideen: Meine Ideen dazu sind folgende: zu a) S3 ist eine Untergruppe des Normalisators von S3 in S4, also muss dieser Ordnung größer gleich 6 haben. Außerdem ist der gesuchte Normalisator eine Untergruppe von S4, also kann die Ordnung nur 6, 8 oder 12 sein (nach Satz von Lagrange) aber nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll...kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben? zu b) hier fällt mir nichts anderes ein, als alle 24 Elemente durchzurechnen, aber da gibt es bestimmt einen besseren Weg oder?
18.06.2021, 10:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4 a) in welchem Sinn betrachtest du $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ als Untergruppe der $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ ? Permutationen, die die 4 fest lassen? Dann kann man sich mal anschauen, was bei einer Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray} gug^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u\in S_3,g\in S_4<br /> \end{eqnarray}$ passiert, wenn g die 4 nicht fest lässt.
18.06.2021, 11:50	Lizzyli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4 Ja so hatte ich mir das jetzt überlegt. Ok irgendwie verstehe ich jetzt noch nicht, wie mir das weiterhelfen soll... Ich habe gerade mal folgendes beispielsweise ausprobiert: g = (3 2 4 1) g invers = (4 2 1 3) und u = (3 2 1) gu(g invers)= (3 2 4 1) * (4 2 3 1) = (1 2 4 3) Aber jetzt weiß ich nicht was ich damit anfangen soll. Müsste ich das dann mit allen Elementen so versuchen?
18.06.2021, 12:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4 Das Ergebnis (1 2 4 3) zeigt doch, dass die 4 kein Fixpunkt mehr ist, du also also $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ gefallen bist. Und das ist auch schon die ganze Idee: Egal wie g aussieht, wenn es die 4 nicht invariant lässt, findet man immer ein u, so dass $\begin{eqnarray} gug^{-1} \end{eqnarray}$ die 4 nicht mehr invariant lässt.
18.06.2021, 14:56	Lizzyli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalisator von S3 in S4 und Zentralisator von ((1 2)(3 4) in S4 Ah ok ja das macht Sinn! Vielen Dank!

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