Periodische Faltung

18.06.2021, 15:00	Eric_78910	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische Faltung Meine Frage: Hi, ich beschäftige mich gerade ein wenig mit Convolutional Neural Networks (CNN) und bin auf folgendes Problem gestoßen: Ich suche eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{N \times N} \end{eqnarray}$ , sodass sich die periodische Faltung $\begin{eqnarray} C_k(B) \in \mathbb{R}^{N \times N} \end{eqnarray}$ der Matix $\begin{eqnarray} B \in \mathbb{R}^{N \times N} \end{eqnarray}$ mit Filter/Kernel $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ schreiben lässt als $\begin{eqnarray} C_k(B) = A \cdot B \end{eqnarray}$ , wobei hier mit "Mal" natürlich die Matrixmultiplikation gemeint ist. Meine Ideen: Ich verstehe, wie die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ aufgebaut sein muss, wenn wir eine "normale" Faltung anstreben: Die Matrix A hat Dimension $\begin{eqnarray} N-n+1^2 \times N^2 \end{eqnarray}$ und die erste Zeile der Matrix besteht in den ersten n Einträgen aus der ersten Zeile von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Dann folgen N-n Nullen. Schließlich wird die zweite Zeile von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ angehängt usw. bis die letzte Zeile von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ erreicht ist. Die restlichen Einträge werden mit Nullen gefüllt. Die zweite Zeile ist eine Kopie der ersten Zeile, um eines nach rechts verschoben. Dieses Prozedere wird wiederholt, bis zur N-n+1sten Zeile. Die Zeile N-n+2 kopiert die darüberliegende Zeile, wird jedoch um n nach rechts verschoben. Die folgenden Einträge bis zur 2N-n+1sten Zeile sind wieder Kopien der darüberliegenden Zeilen um eins nach rechts verschoben. Dieses Prozedere Wiederholt sich, bis das Ende der Matrix erreicht ist. Die so erhaltene Matrix kann mit der vektorisierten Version von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ (Dimension $\begin{eqnarray} N^2 \times 1 \end{eqnarray}$ ) multipliziert werden. Das Ergebnis kann schließlich in die Form $\begin{eqnarray} N-n+1 \times N-n+1 \end{eqnarray}$ gebracht werden und er handelt sich bei dieser Matrix um die "normale" Faltung. Dasselbe Prozedere könnte angewandt werden, wenn die Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ periodisch erweitert wird, um eine periodische Faltung zu erhalten. Jedoch hätte die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ dann nicht eine quadratische Form, wie gefordert. Gibt es eine Möglichkeit, sich $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ für eine periodische Faltung zu basteln und dabei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in der Dimension $\begin{eqnarray} N \times N \end{eqnarray*}$ zu erhalten? Thx

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