Zufällig eine Quadratzahl erwischen

18.06.2021, 21:33	ichbinneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufällig eine Quadratzahl erwischen Guten Tag, sei $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ fest und sei $\begin{eqnarray} 1\leq i\leq \sqrt[3]{n} \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl. Man wähle nun eine zufällige natürliche Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq m\leq \sqrt{i\cdot n} \end{eqnarray}$ . Ist diese eine Quadratzahl, so ist man fertig. Ist es keine Quadratzahl, erhöht man i um eins und wählt wieder ein zufälliges m. Die einzelnen Ereignisse der Wahlen von m sind als unabhängig anzusehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Quadrat trifft, wenn man bei i=1 beginnt und bis höchstens $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray}$ läuft? Meine Ideen: Zwischen 1 und $\begin{eqnarray} \sqrt{ni} \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt{ni}} \end{eqnarray}$ viele Quadrate. Die Wahrscheinlichkeit bei gegebenem i ein Quadrat zu erwischen, ist also $\begin{eqnarray} p(i) = \frac{\sqrt{\sqrt{ni}}}{\sqrt{ni}} = \frac{1}{\sqrt[4]{ni}} \end{eqnarray}$ . Mit steigendem i wird diese kleiner, ich habe also $\begin{eqnarray} p(i) \geq\frac{1}{\sqrt[4]{n\cdot\sqrt[3]{n}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich leider nicht weiter. Ich habe schonmal an die Siebformel gedacht, aber dann müsste ich ja p(1), p(2)... recht umständlich miteinander multiplizieren, was sicherlich geht, aber mir hat sich noch nicht das System erschlossen. Viele Grüße
19.06.2021, 21:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinen Rechnungen fehlt meiner Ansicht nach die Abrundung zur nächsten ganzen Zahl. Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} p_i \end{align}$ , beim $\begin{align} i \end{align}$ -ten Durchgang eine Quadratzahl zu ziehen, $\begin{align} p_i = \frac{\left \lfloor \sqrt[4]{in} \right \rfloor}{\left \lfloor \sqrt{in} \right \rfloor} \end{align}$ Die Klammern mit den Füßen bezeichnen die Abrundung. Und die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine Quadratzahl zu ziehen, wäre dann $\begin{align} q = 1 - \left( 1 - p_1 \right) \left( 1 - p_2 \right) \cdots \left( 1 - p_N \right) \ \ \text{mit} \ \ N = \left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor \end{align}$ Der besseren Lesbarkeit wegen wurde die Abhängigkeit von $\begin{align} n \end{align}$ in den Bezeichnungen unterdrückt.
20.06.2021, 12:39	ichbinneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag Leopold, schönen Sonntag, ich verstehe deinen Einwand. Klar, ich muss ja eine natürliche Zahl erhalten, danke für den Hinweis. Und dann gehst du über die Gegenwahrscheinlichkeit, guter Tipp. Das könnte ich ja nun abschätzen, denn die mindest Wahrscheinlichkeit zu treffen ist ja a = p(n^(1/3)). Nun ist also die mindest Wahrscheinlichkeit zu treffen 1- (1-a)^( n^(1/3)). Wobei ich hier den Exponenten noch abrunden muss, bekomme das aber gerade ohne Laptop nicht vernünftig geschrieben. Ist das so? Viele Grüsse

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