Schätzproblem erwartungstreu

20.06.2021, 14:15

Ce

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Schätzproblem erwartungstreu

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1, \cdots, X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige, auf [a,b] gleichverteilte Zufallsvariable, wobei
$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit a < b unbekannt sind. Es soll der Mittelpunkt des Intervalls [a,b] aus den Realisierungen der Zufallsvariablen geschätzt werden. Schreiben Sie das Schätzproblem vollständig
auf. Prüfen Sie, ob die Schätzer
$\begin{eqnarray*} <br /> T_1(x)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i <br /> T_2(x)=\frac{1}{2}(max_{1 \leq i \leq n} x_i + max_{1 \leq i \leq n} x_i)<br /> T_3(x)=x_i \end{eqnarray*}$
erwartungstreu sind.

Meine Ideen:
Das Schätzproblem habe ich und bin mir da unsicher.
$\begin{eqnarray*} <br /> T_1(x)\ und\ T_3(x)\ habe\ ich\ auch.\<br /> T_2(x)\ weiß\ ich\ nicht,\ wie\ ich\ das\ zeigen\ soll.\<br /> Als\ Tipp:\ Für\ T_2(x)\ soll\ ich\ zeigen\ und\ verwenden:\ <br /> E[max_{1 \leq i \leq n} x_i^{(\vartheta)}] = a+b-E[min_{1 \leq i \leq n} x_i^{(\vartheta)}]. \end{eqnarray*}$

20.06.2021, 14:42

Ce

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* $\begin{eqnarray*} T_2(x)=\frac{1}{2}(max_{1 \leq i \leq n}\ x_i + min_{1 \leq i \leq n}\ x_i) \end{eqnarray*}$

20.06.2021, 16:00

Huggy

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Zur Schreibvereinfachung erspare ich mir bei Min und Max die Angabe des Bereichs. Setze

$\begin{eqnarray*} Y_i=a+b-X_i \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} Min(Y_i)=a+b-Max(X_i) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i))=a+b-E(Max(X_i)) \end{eqnarray*}$

Nun sind aber die $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ genau wie die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [a.b] \end{eqnarray*}$ gleichverteilt. Es ist daher

$\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i))=E(Min(X_i)) \end{eqnarray*}$

Das in die vorige Gleichung eigesetzt ergibt den Beweis des Tipps und aus diesem folgt

$\begin{eqnarray*} E(T_2)=\frac {a+b}2 \end{eqnarray*}$

20.06.2021, 16:36

Ce

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Schätzproblem:
$\begin{eqnarray*} Stichprobenraum: (S,C)=(\{a,b\}^n, P(\{a,b\}^n)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Familie: Für\ X=(X_1, \cdots, X_n) \in S_n\\<br /> \mathbb{P}_\vartheta (\{(X_1, \cdots, X_n)\})= \prod_{i=1}^n F(x) , \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \\<br /> F(x)= \begin{cases}<br /> 0\ ,x \le a\\<br /> \frac{x-a}{b-a}\ ,a < x < b\\<br /> 1\ ,x \ge b <br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zu\ schätzende\ Funktion: g: \Theta \to \Theta\ mit\ g(\vartheta)=\vartheta \end{eqnarray*}$

20.06.2021, 16:51

Huggy

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Ist mir unklar, was das bedeuten soll. Oben waren doch 3 Schätzer für den unbekannten Mittelpunkt des Intervalls gegeben, deren Erwartungstreue man prüfen soll. Ist man damit nicht fertig?

20.06.2021, 17:00

Ce

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In dieser Aufgabe sollen wir das Schätzproblem vollständig aufschreiben und dazu noch die Erwartungstreue der 3 gegebenen Schätzer prüfen.

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20.06.2021, 17:03

Huggy

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Zu der Art, wie ihr das Schätzproblem aufschreiben sollt, kann ich leider nichts beitragen.

20.06.2021, 19:32

Ce

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[attach]53207[/attach]
Sowie ich oben geschrieben hab in der Art.
Im Skript: Seite 67: 15 Schätzen, Definition 15.1

20.06.2021, 20:57

Ce

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$\begin{eqnarray*} Für\ T_1(x)=T_3(x)=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

20.06.2021, 21:00

Ce

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Wo und wie setze ich $\begin{eqnarray*} E[min_{1 \leq i \leq n} y_i]=E[min_{1 \leq i \leq n} x_i] \end{eqnarray*}$ ein?

20.06.2021, 21:54

Helferlein

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Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} Y_i=a+b-X_i \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i))=E(Min(X_i)) \end{eqnarray*}$

Ich denke hier liegt ein Schreibfehler vor und es muss eigentlich $\begin{eqnarray*} E(\text{Min}(Y_i))=E(\text{Max}(X_i)) \end{eqnarray*}$ lauten, was auch das Einsetzen in die vorherige Gleichung sinnvoller macht.

21.06.2021, 04:55

Ce

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Wo und wie setze ich $\begin{eqnarray*} E[min_{1\leq i\leq n} y_i]=E[max_{1\leq i\leq n} x_i] \end{eqnarray*}$ ein?

21.06.2021, 07:31

Huggy

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Zitat:

Original von Helferlein

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} Y_i=a+b-X_i \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i))=E(Min(X_i)) \end{eqnarray*}$

Ich denke hier liegt ein Schreibfehler vor und es muss eigentlich $\begin{eqnarray*} E(\text{Min}(Y_i))=E(\text{Max}(X_i)) \end{eqnarray*}$ lauten, was auch das Einsetzen in die vorherige Gleichung sinnvoller macht.

Nein, da liegt kein Schreibfehler vor. Die vorige Gleichung lautete

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i))=a+b-E(Max(X_i)) \end{eqnarray*}$

Wenn man dort $\begin{eqnarray*} E(Min(Y_i)) \end{eqnarray*}$ gemäß der letzten Gleichung durch $\begin{eqnarray*} E(Min(X_i)) \end{eqnarray*}$ ersetzt, steht da

$\begin{eqnarray*} E(Min(X_i))=a+b-E(Max(X_i)) \end{eqnarray*}$

was man gemäß Tipp zeigen solle.

21.06.2021, 08:08

Ce

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Wie soll ich jetzt $\begin{eqnarray*} T_2(x) \end{eqnarray*}$ zeigen?

21.06.2021, 08:15

Huggy

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Wie ich schon oben schrieb:

Zitat:

Original von Huggy
Das in die vorige Gleichung eigesetzt ergibt den Beweis des Tipps und aus diesem folgt

$\begin{eqnarray*} E(T_2)=\frac {a+b}2 \end{eqnarray*}$

Damit bist du fertig. Der Schätzer $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ist erwartungstreu.

21.06.2021, 08:21

Ce

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Ich habe eben $\begin{eqnarray*} E[min_{1 \leq i \leq n} x_i] = a+b-E[max_{1 \leq i \leq n} x_i]] \end{eqnarray*}$ mit ein paar wenigen Schritten umgeformt, sodass $\begin{eqnarray*} T_2(x) \end{eqnarray*}$ erkennbar rauskommt.

21.06.2021, 08:26

Huggy

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Gut! Das sieht man ja im Kopf.

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