Cauchyfolgen

20.06.2021, 16:29	Der Ahnungslose D.	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyfolgen Meine Frage: Sei (an) eine Cauchyfolge, die nicht gegen 0 konvergiert, und sei (an) ungleich 0 für alle n. Zeigen Sie: a) Es gibt ein C > 0 mit \|an\| >= C für alle n b) Die Folge (1/an) ist eine Cauchyfolge Meine Ideen: Da die Folge nicht gegen 0 konvergiert, existiert ein Epsilon > 0 sodass für alle N aus den natürlichen Zahlen ein n >= N mit \|an\| >= Epsilon existiert. Wir wählen also eines dieser Epsilon > 0 und betrachten Epsilon/2 > 0. Nach Definition einer Cauchyfolge existiert jetzt ein M aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle m,n >= M gilt, dass \|an - am\| < Epsilon/2. Nach oben finden wir ein n' >= M mit \|an'\| > Epsilon. Also gilt für alle m >= M , dass \|an'- am\| < Epsilon/2. Daraus folgt für alle m >= M gilt \|am\| > Epsilon/2. Nun weiß ich jedoch nicht wie ich weitermachen soll. Für die b fehlt mir ein Ansatz, ich weiß nur, dass man dafür a) und \|(1/an) - (1/am)\| = (1/\|am\| * \|an\|) * \|an - am\| braucht.
20.06.2021, 16:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyfolgen a) Kann man schön über Widerspruch machen. Angenommen für jedes $\begin{eqnarray} C > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} n_C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a_{n_C}\| < C \end{eqnarray}$ . Dann kann man eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{n_k}) \end{eqnarray}$ definieren, welche (per Definition) gegen 0 konvergiert und damit der Annahme widerspricht, dass es nicht gegen 0 konvergiert.

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