Flächenintegral einer Funktion

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area52 Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegral einer Funktion
Hallo

Gegeben sie die Fläche H durch mit und

Zunächst sollte man H geometrisch beschreiben.
Mit z=v erhält man x²+y²=1+v² bzw. x²+y²-z²=1, was wegen der Einschränkung für v einem Hyperboloid der Höhe 2 entspricht.

Wäre das für eine geometrische Interpretation ausreichend ?

Nun soll noch das Integral berechnet werden.

Mit und so wie der Gramschen Determinante komme ich auf :

beachten ? verwirrt

Aus punktsymmetrischen Gründen müsste da ja Null rauskommen.
Kann das denn als Ergebnis in Frage kommen oder muss ich die Orientierung z.B. durch umgehen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenintegral einer Funktionen
Zitat:
Original von area52
Zunächst sollte man H geometrisch beschreiben.
Mit z=v erhält man x²+y²=1+v² bzw. x²+y²-z²=1, was wegen der Einschränkung für v einem Hyperboloid der Höhe 2 entspricht.

Wäre das für eine geometrische Interpretation ausreichend ?

Etwas präziser wäre Rotationshyberboloid.

Zitat:
Aus punktsymmetrischen Gründen müsste da ja Null rauskommen.
Kann das denn als Ergebnis in Frage kommen

Das muss herauskommen, wie man ohne jede Rechnung sieht. Der zur definierten Fläche gehörende Teil des Hyerboloids ist spiegelsymmetrisch zur x-y-Ebene. Daher ist das Integral von über den oberen Teil der Fläche gleich dem über den unteren Teil der Fläche, nur mit unterschiedlichem Vorzeichen, da oben positiv und unten negativ ist.
area52 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das muss herauskommen, wie man ohne jede Rechnung sieht.


Das ist aber auch nur so, weil in der Aufgabe "Berechne das Integral" und nicht "Berechne die Oberfläche" steht, oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich. Die Oberfläche ist per Definition positiv. Das drückt sich in der Rechnung dadurch aus, und positiv sind. Die Flächenberechnung ist identisch damit, die Funktion über die Fläche zu integrieren. Diese Funktion hat auf beiden Teilen des Hyperboloids dasselbe Vorzeichen.
area52 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Huggy.

Eine letzte Frage:

Angenommen man betrachtet mit mit derselben Parametrisierung für H wie oben, also

Mit erhalte ich

Kann jemand das Ergebnis bestätigen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist richtig, jedenfalls dann, wenn man den Fluss durch die Deck- und Bodenfläche des Rotationshyperboloids nicht berücksichtigen soll.
 
 
area52 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Freude
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