Funktion ableiten, die einen Vektor enthält

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miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion ableiten, die einen Vektor enthält
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich möchte gerne die Funktion ableiten, allerdings bin ich mir bei meinen Rechenschritten nicht so sicher.

Hinweis:




Meine Ideen:
ist die Ableitung vom hinteren Term, aber wie soll ich ableiten? Ist die Ableitung davon einfach:

so?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, dein Ergebnis ist fast korrekt, es fehlt ein Minus.

Die Kettenregel gilt auch im Mehrdimensionalen.

Sei . Dann ist .

Mit folgt dann ganz einfach .

Beziehungsweise halt dein transponiertes Ergebnis mit einem zusätzlichen Minus, wenn du die Ableitung als Gradient schreiben willst.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, danke für die Antwort! smile

Als Insgesamt haben wir .

Ich muss das ganze nun null setzen und nach w umformen. Es sollte eigentlich ein Minimum existieren. Ist die Vorgehensweise korrekt:



Ich würde jetzt erstmal die Klammer lösen, wie mache ich das mathematisch richtig?
Einfach wie im eindimensionalen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Klammerauflösen geht wie im Eindimensionalen. Multiplikation mit einem Vektor ist schließlich eine lineare Abbildung ;-)
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann würde ich doch folgendes bekommen:



Wie kriege ich das w^T weg? verwirrt

Irgendwie sieht das alles Komisch aus Big Laugh Es soll folgendes raus kommen (siehe Bild 2.29) Erstaunt2
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst schreiben als . Dann einmal alles transponieren, um die Transponierten loszuwerden und isolieren. Ich komme damit allerdings auch nicht auf das Ergebnis aus dem Buch, sondern auf

, vorausgesetzt, die Inverse da existiert.

Das sieht zwar so ähnlich aus, wie das Ergebnis aus dem Bild, aber auch nur fast. "Mein" ist nur die Diagonale der Summe im Bild und es fehlt ein Vorzeichen. Mein hat auch ein Vorzeichen zu wenig.

Ich sehe aber gerade auch nicht, wo wir was falsch gemacht haben sollten verwirrt
 
 
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh okay, dann wird es jetzt spannend. Big Laugh

Hier nochmal die komplette Seite(falls ich was übersehen haben sollte)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, tut mir Leid, ich sehe da keinen Fehler (kann ich natürlich auch nicht komplett ausschließen). Ich hoffe, es kann dir jemand anderes noch weiterhelfen, vielleicht jemand mit mehr fachlichem Hintergrund?

Ich wüsste nicht, wo auf einmal eine zweite Summe nach N herkommen soll. N hat, wenn ich das richtig verstanden habe, nichts mit der Dimension des Raumes zu tun, daher kann ich mir gerade nicht mal vorstellen, wie die da hineingekommen sein soll.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Schade traurig

N wurde erstmals hier eingeführt (siehe Bild)

N ist also die Anzahl der Experimente bzw. die Dimension der Trainingsmenge:

.

Naja, ich danke dir trotzdem für die Hilfe. Ich kam auf jeden fall etwas weiter Freude
Miimi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand eventuell eine Idee?
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Gruppi12,

ich glaube die Lösung, die du bekommen hast ist richtig. Ich habe nämlich die selbe Lösung im Internet gesehen nur in Matrixschreibweise. Ich wollte nun die zweite Ableitung berechnen, um zu zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Könntest du mir vllt. dabei helfen?

Ich würde mich echt sehr freuen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

ich würde da eher anders, als mit der Hessematrix argumentieren.

Man kann relativ leicht sehen, dass die angegebene Abbildung ein globales Minimum haben muss. Betrachte dazu das Verhalten im Unendlichen und mache dir zunutze, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Minimum annehmen.

Für dieses Minimum muss gelten, dass die Ableitung 0 ist. Wenn wir also genau einen Punkt finden, wo die Ableitung 0 ist (vorausgesetzt Invertierbarkeit der Matrix, die dabei auftaucht), dann muss dieser Punkt das Minimum sein, weil es keinen anderen Kandidaten gibt.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, muss ich dann



überprüfen? verwirrt
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gruppi12, also ich verstehe nicht genau, weshalb ich den Grenzwert betrachten soll. Den Satz, den du meinst habe ich im Internet gefunden. (siehe Bild)

Was ist nun das Ziel? Damit wir den oben genannten Satz anwenden können brauchen wir:

- Kompaktheit,
- Stetigkeit.

Wie zeigen wir nun, dass die Funktion, die wir haben Kompakt ist? verwirrt

Was ist die Idee mit den Grenzwerten? verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist wie folgt: Betrachte eine große abgeschlossene Kugel um 0.

Außerhalb der Kugel ist f sehr groß (ist zu zeigen!). Innerhalb der kompakten Kugel hat f ein Minimum.

Jetzt überleg dir noch, warum das Minimum innerhalb der Kugel ein globales Minimum sein muss.
Miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen dem Satz vom Minimum und Maximum? Natürlich vorausgesetzt, dass die betrachtete Funktion Stetig ist. Woher wissen wir, dass die Funktion Stetig ist?

Und weshalb ist es wichtig, dass die Funktion außerhalb der Kugel sehr groß ist?

Tut mir leid, wenn ich so viel Frage, ich will das alles mathematisch richtig verstehen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg doch erstmal selbst ein bisschen. Wenn du nicht brauchst, dass die Funktion außerhalb der Kugel groß ist, ist das doch auch gut.
Du wirst erst sehen, wofür man das braucht (oder auch nicht braucht), wenn du selbst anfängst, Ideen zu entwickeln.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast Recht. Ich habe mir mal ein Bild dazu gemacht im falle von

Auf dem Bild siehst du ein Kreis, das soll die abgeschlossene Menge darstellen. Das Viereck soll den ganzen Definitionsbereich von f darstellen.

Wir wissen nun, dass eine Funktion f in der abgeschlossenen Menge ihr globales Minimum/Maximum annimmt falls f stetig ist. (Gilt wegen dem Satz vom Max/Min oder?)


Damit f in der abgeschlossenen Menge ihr globales Maximum annimmt muss f außerhalb der abgeschlossenen Menge sehr klein sein, und damit f in der abgeschlossenen Menge ihr Minimum annimmt muss f außerhalb der abgeschlossenen Menge sehr groß sein. (ODER? verwirrt )

richtig verstanden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau,


du kannst dir zum Beispiel f(0) angucken. Wenn du sicherstellen kannst, dass f außerhalb der Kugel größer als |f(0)| ist, muss das Minimum innerhalb der Kugel (das ja noch kleiner als f(0) ist / höchstens gleich groß), ein globales Minimum sein.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die Idee ist mir nun klar Freude

Also muss ich nun zwei Sachen zeigen:

-

Also für w gegen + und - unendlich muss die Funktion gegen unendlich gehen.

- f ist stetig.

Wie kann ich bei diesen Schritten vorgehen?

Übrigens: Gleich spielt Deutschland, ich hoffe das wird ein gutes Spiel für Deutschland. Big Laugh Prost
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Denk bei der Stetigkeit mal an die klassischen Sätze von Produkten, Kompositionen, Summen stetiger Funktionen und so.

Wenn du dich nicht nur auf Eindimensionalität einschränken willst, ergibt und . nicht viel Sinn. Man betrachtet dann stattdessen .
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die betrachtete Funktion ist stetig, da das Produkt, Komposition und Summe von stetigen Funktionen wieder stetig ist.


Echt? Betrachtet man da wirklich die Norm, also den euklidischen Abstand? Darf man das so machen? ich dachte man schreibt z.B verwirrt


Naja, wenn ich die Norm gegen unendlich betrachte, dann weiß ich auf jeden fall das

gilt, was ja eigentlich schon aussagt.

Was kann ich zu dem vorderen Term sagen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll den ein Grenzwert mit (x, y) -> (0, 0) das Verhalten im Unendlichen wiederspiegeln? verwirrt
Miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage Big Laugh LOL Hammer

Die Norm geht ja gegen unendlich, was ist mit dem anderen Term? Ich denke, der geht auch gegen +unendlich, aber ich weiß nicht, wie ich das begründen soll.

Muss ich dann noch die Norm gegen - unendlich betrachten? Omg irgendwie bin ich voll schlecht traurig
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schon einen Term hast, der gegen unendlich geht, musst du nur noch zeigen, dass der andere das nicht mehr stört. Denk da gerne Mal ein bisschen drüber nach.
Miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es Ehrlich gesagt nicht:/ Der Term enthält doch kein ||w||, auf was soll ich hier achten verwirrt
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich würde jetzt einfach sagen, dass die Summe auch gegen unendlich geht, da immer etwas positives zu etwas positives dazu addiert wird.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist korrekt. Der erste term wird nicht negativ.
miimi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal alles ordentlich mathematisch zusammengefasst:



Die Funktion nimmt ihr Minimum an der Stelle



an, falls die Inverse existiert.

Das an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum existiert, können wir uns wie folgt klar machen:

Zunächst einmal ist eine stetige Funktion, da die Komposition, das Produkt und die Summe von stetigen Funktionen wiederum stetig ist. Betrachten wir nun eine große abgeschlossene Kugel um 0, dann nimmt innerhalb der abgeschlossenen Kugel ein Maximum und ein Minimum an. Dies gilt nach dem Satz vom Minimum und Maximum. Können wir nun zeigen, dass das Minimum in der abgeschlossenen Menge für alle außerhalb der abgeschlossenen Kugel kleiner ist als , dann ist das Minimum in der abgeschlossenen Menge ein globales Minimum.
Hierzu betrachten wir das Verhalten von im unendlichen. Für

ist offensichtlich, dass gegen +unendlich strebt und da nicht negativ ist, hat dies keinen Einfluss mehr auf den Grenzwert von . Insgesamt können wir sagen, dass außerhalb der abgeschlossenen Kugel gegen unendlich strebt und somit ist das Minimum in der Kompakten Menge stets kleiner als alle außerhalb der kompakten Menge.

Ist das alles mathematisch und inhaltlich korrekt beschrieben von mir?

Ehrlich gesagt verstehe ich immer noch nicht so richtig, weshalb wir betrachten dürfen. Hast du vllt. ein Stichwort für mich, wo ich mehr dazu finde?


Ich danke dir Gruppi12
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Argumentation passt. Zu deiner letzten Frage:

Was anderes bedeutet es denn, dass die Funktion für gegen unendlich geht, als dass sie beliebig groß wird, wenn man sie außerhalb von Kugeln um den Ursprung mit beliebig großem Radius betrachtet?

Das kannst du dir auch Anhand der Definition klarmachen und formal beweisen, wenn es dir unklar ist.
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