Implizite Funktionen/Auflösen

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blip Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen/Auflösen
Meine Frage:
g(x) = x*y*(x+ 2y)

Überzeugen Sie sich, dass es eine Funktion f gibt, die in dem Punkt(also einer Umgebung um) x = 1 definiert ist, und für
die die Gleichung g(x, f (x)) = 0 gilt. Wieviele solche differenzierbare Funktionen gibt es?

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre jetzt gewesen dass ich es über den Satz der impliziten funktionen machen würde aber ich stehe momentan auf dem Schlauch wie ich das umsetzen würde.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Den Satz über implizite Funktionen brauchst du hier nicht. Die Lösungen von kannst du direkt aus der Gleichung ablesen.
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Das verstehe ich jetzt noch nicht so ganz. Muss ich dann einfach nach y oder x auflösen? und was hat der punkt x dann damit zu tun? aufzulösen war auch meine Idee gewesen nur verwirrt mich das g(x,f(x)) = 0 ein bisschen ...

Schonmal vielen Dank für die Antwort
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Gefragt ist nach einer Auflösung nach . Mach das einfach mal. Dann sehen wir weiter.
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
also ich hab jetzt als die möglichen lösungen raus dass y= -x/2 ist oder y = 0 oder x = 0 ist. wäre dann y = -x/2 die lösung als funktion und dann wäre dann ja die mögliche Anzahl von differenzierbaren funktionen genau eine nämlich -x/2 oder? was passiert dann mit dem wert von x = 1?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Die Lösungen sind richtig, wobei keine Auflösung nach ist. Die Lösung



ist für alle richtig, also auch für und in jeder beliebigen Umgebung von . Doch was ist mit der Lösung

?

Hat die bezüglich irgendwelche Einschränkungen?
 
 
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
bei y = 0 kann x ja nur 0 sein weswegen die funktion nicht in der Umgebung von x = 1 definiert sein kann und somit gibt es nur eine differenzierbare funktion welche in der Umgebung definiert ist oder?

Schon mal vielen Dank und für die viele Geduld smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Das ist nicht richtig. Es ist doch . Widerspricht das dem Satz über implizite Funktionen, den du offenbar im Hinterkopf hast?
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
ahh ja stimmt den satz hab ich ja garnet betrachtet. Da durch x einsetzen es null ergibt ist dann der satz von impliziten funktionen erfüllt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Das musst du näher erläutern. Wir haben bei zwei Funktionen, nämlich



und



die



erfüllen. Sollte es nach dem Satz über implizite Funktionen nicht nur eine solche Funktion geben? Da du schon in der Überschrift implizite Funktionen erwähnt hast, insistiere ich hier ein wenig.
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
da bin ich jetzt ziemlich überfragt verwirrt . Ich hätte jetzt spontan geraten dass die zweite funktion also y = 0 nicht in der Umgebung x = 1 definiert ist und somit es nur eine funktion geben würde aber das widerspricht sich dann ja mit dem Satz von impliziten funktionen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Nein, das ist es nicht. Die Funktion ist für alle definiert. Sie ist halt für jedes Null. Wir müssen das nicht unbedingt vertiefen. Im Text der Aufgabe ist der Satz ja nicht erwähnt.
blip Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Also nochmal fürs Verständnis, es gibt dann laut Lösung zwei differenzierbare funktionen jedoch gibt es nur eine implizite funktion oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen/Auflösen
Nein! Beide Funktionen sind durch die Gleichung implizit definiert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@blip

Im Satz von der impliziten Funktion ist nie nur die Rede von einer Funktion in der Umgebung einer Stelle , sondern von einem Punkt mit und . D.h., die (unter gewissen zusätzlichen Voraussetzungen) bestehende lokale Eindeutigkeit von bezieht sich nicht auf die bloße Vorgabe von , sondern von dem Punkt - das scheinst du noch nicht richtig beachtet zu haben.

Im vorliegenden Fall wäre das einmal der Punkt sowie andererseits der Punkt . Für beide Vorgaben bekommt man jeweils eine lokal eindeutige Funktion.


@Huggy

Entschuldige, dass ich dir ins Handwerk pfusche, aber ich hatte das Gefühl, dass blip noch ewig Kreise gedreht hätte, bis es diesbezüglich Klick gemacht hätte. Bin auch schon wieder weg. Wink
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL
Das ist schon in Ordnung. Ich war auch nahe dran, selbst die Sache zu erläutern.

@blib
Du kannst ja auch mal den Punkt betrachten. Hier sind die Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen nicht erfüllt. Und tatsächlich gehen ja auch beide Lösungen durch diesen Punkt. Es gibt keine Umgebung dieses Punktes mit einer eindeutig definierten Lösungsfunktion.
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