Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung

23.06.2021, 17:27

Ll15

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Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Meine Frage:
Hi, ich brauche eure Hilfe. Ich möchte mir die Definition der Bedingten W'keitsverteilung mithilfe eines Beispieles veranschaulichen:

Dazu sei X ein Zufallsvektor, welches normalverteilt ist $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal{N} \left( (0,0), \begin{pmatrix} 3/4 & 2 \\ 2 &3/4 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ ,

weiter sei Y eine Zufallsvariable, was ebenso normalverteilt ist mit $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N} \left( 0, 1 \right) \end{eqnarray*}$

und zu guter letzt haben wir noch ein Zufallsvektor mit $\begin{eqnarray*} W \sim \mathcal{N} \left( 0, \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

Mich interessiert nun bspweise die W'keit

$\begin{eqnarray*} p_{X,Y |W}(x,y |w)=p_{Y| X,W}(y,x|w)p_{X}(x) \end{eqnarray*}$ , was aus der Definition der bedingten W'keit folgt.

PS: Die Zahlen wurden willkürlich gewählt.

Meine Ideen:
Wie kann nun, die Wahrscheinlichkeit berechnen? Und wie kann ich das ganze Bildlich darstellen? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.

24.06.2021, 09:49

HAL 9000

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Bei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gibt es noch eine Unstimmigkeit: Statt eindimensionaler Mittelwert 0 soll dort vermutlich (0,0) stehen.

Zitat:

Original von Ll15
Wie kann nun, die Wahrscheinlichkeit berechnen?

Du meinst $\begin{eqnarray*} p_{X,Y |W}(x,y |w) \end{eqnarray*}$ ? Mit deinen Angaben, die sich lediglich mit den Einzelverteilungen von $\begin{eqnarray*} X,Y,W \end{eqnarray*}$ befassen, aber nichts zu der gemeinsamen Verteilung der drei aussagen: Gar nicht.

Und wenn man mangels dessen Unabhängigkeit der drei annimmt, wird das ganze trivial: Dann ist $\begin{eqnarray*} p_{X,Y|W}(x,y|w) = p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)\cdot p_Y(y) \end{eqnarray*}$ .

24.06.2021, 11:05

Ll15

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Das mit W stimmt natürlich.
Wenn die Unabhängig sind, ist mir das ganze zu trivial.

Dann lass uns doch auch für die gemeinsame Verteilung etwas ausdenken:

Sagen wir die gemeinsame Verteilungsfunktion von X,Y und W sind normalverteilt mit

$\begin{eqnarray*} \mu= (0,0,0,0) \end{eqnarray*}$

Und die Komponenten der Kovarianzmatrix müssen doch die Varianzen der Einzelverteilungen sein oder?

24.06.2021, 12:38

HAL 9000

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Ok, das wäre ein denkbares Modell: Du kannst die beiden zweidimensionalen Vektoren $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sowie das eindimensionale $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in eine fünfdimensionale Normalverteilung mit Mittelwertvektor 0 packen, aber von der Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ dieses Vektors $\begin{eqnarray*} (X,Y,W) \end{eqnarray*}$ ist da bisher nur ein Teil bekannt:

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \left(\begin{array}{ccccc}3/4 & 2 & ? & ? & ?\\ 2 & 3/4 & ? & ? & ?\\ ? & ? & 1 & ? & ?\\ ? & ? & ? & 1 & 0\\ ? & ? & ? & 0 & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Die von dir angefragten bedingten Verteilungen hängen natürlich maßgeblich von jenen ?-Kovarianzen ab.

24.06.2021, 13:05

Ll15

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Von den Kovarianzen der gemeinsamen Verteilungen:

$\begin{eqnarray*} \Sigma_{XY} \in \mathbb{R}^{3x3}, \Sigma_{XW} \in \mathbb{R}^{4x4} , \Sigma_{WY} \in \mathbb{R}^{3x3} \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich mir deine Matrix ansehe, dann sehe ich, dass die Dimension meiner Matrizen nicht in Ordnung sind.

An deiner Matrix kann ich erkennen, dass ich zwei mal eine 1x2 Matrix haben muss und zwei mal eine 2x3 Matrix, allerdings kann ich mir nicht erklären, welche Kovarianz ich noch vergessen habe.

24.06.2021, 13:22

HAL 9000

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Wie oder was willst du vermeintlich vergessen haben? Ich verstehe diese deine Anmerkung nicht.

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \left(\begin{array}{ccccc}3/4 & 2 & {\color{red}?} & {\color{blue}?} & {\color{blue}?}\\ 2 & 3/4 & {\color{red}?} & {\color{blue}?} & {\color{blue}?}\\ {\color{red}?} & {\color{red}?} & 1 & {\color{green}?} & {\color{green}?}\\ {\color{blue}?} & {\color{blue}?} & {\color{green}?} & 1 & 0\\ {\color{blue}?} & {\color{blue}?} & {\color{green}?} & 0 & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Die roten ? stammen aus $\begin{eqnarray*} \Sigma_{X,Y} \end{eqnarray*}$ , die blauen aus $\begin{eqnarray*} \Sigma_{X,W} \end{eqnarray*}$ und die grünen aus $\begin{eqnarray*} \Sigma_{Y,W} \end{eqnarray*}$ , ist doch alles Ok!!!

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24.06.2021, 13:50

Ll15

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Okay Super, dann würde ich jetzt auch irgendwelche Zahlen dafür einsetzen, damit ich weiter rechnen kann.

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \left(\begin{array}{ccccc}3/4 & 2 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3/4 & 1 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 1 &1 & 1\\ 2 &3 & 3 & 1 & 0\\2 & 2 & 1 & 0 & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Darf ich das überhaupt machen oder sind diese Werte bereits festgelegt?

24.06.2021, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ll15
Darf ich das überhaupt machen oder sind diese Werte bereits festgelegt?

Darfst du nicht!

Die Matrix ist genau dann eine mögliche Kovarianzmatrix einer Normalverteilung, wenn sie positiv definit ist.

Das erfordert u.a. NOTWENDIG $\begin{eqnarray*} s_{ij}^2 \leq s_{ii}\cdot s_{jj} \end{eqnarray*}$ für ALLE Indexpaare $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ . Allein das ist von den meisten deiner Beispieleinträge verletzt worden. Das "notwendig" deutet an, dass das allein bei Matrizen der Dimension $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$ auch noch nicht ausreicht.

P.S.: "Positiv definit" beinhaltet bei einer reellen Matrix zudem, dass sie symmetrisch ist - auch das hast du nicht beachtet.

EDIT: Erst jetzt merke ich, dass bereits deine Kovarianzmatrix zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ diese Bedingung "positiv definit" verletzt! Kann es sein, dass du dich da verschrieben hast und eigentlich

$\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left( (0,0), \begin{pmatrix} 2 & 3/4 \\ 3/4 & 2\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

meintest?

24.06.2021, 15:16

Ll15

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Ohje, was habe ich nur gemacht. Hammer

Hammer

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind:

Wir haben die folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \left(\begin{array}{ccccc}2 & 3/4 & {\color{red}?} & {\color{blue}?} & {\color{blue}?}\\ 3/4 & 2 & {\color{red}?} & {\color{blue}?} & {\color{blue}?}\\ {\color{red}?} & {\color{red}?} & 1 & {\color{green}?} & {\color{green}?}\\ {\color{blue}?} & {\color{blue}?} & {\color{green}?} & 1 & 0\\ {\color{blue}?} & {\color{blue}?} & {\color{green}?} & 0 & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} s_{11}=2 >0 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} det[ \begin{pmatrix} 2 & 3/4 \\3/4 &2 \end{pmatrix} ]=3,4375>0 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} det[ \begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 \\3/4 &2 & 0,5 \\ 1 & 0,5 & 1 \end{pmatrix} ]=1,6875>0 \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} det[ \begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 & 1 \\3/4 &2 & 0,5 & 0 \\ 1 & 0,5 & 1 &0,5 \\ 1 & 0 & 0,5 & 1 \end{pmatrix} ]=0,703>0 \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} det[ \begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 & 1 & 0 \\3/4 &2 & 0,5 & 0 &0 \\ 1 & 0,5 & 1 &0,5 &0 \\ 1 & 0 & 0,5 & 1 &0 \\ 0 &0&0&0&1 \end{pmatrix} ]=0,703>0 \end{eqnarray*}$

so müsste es doch passen oder

24.06.2021, 15:35

HAL 9000

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Ach je, diese ganzen Kriterien mit Hauptminoren etc. habe ich nicht mehr parat und möchte daher auch nicht bestätigen, dass das was du da gerechnet hast als Begründung ausreicht.

Ich kann lediglich (per CAS-Rechnung der Eigenwerte) bestätigen, dass diese deine letzte in 5) angegebene Matrix tatsächlich positiv definit ist.

24.06.2021, 16:07

Ll15

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Danke für die Überprüfung, dass ist nett von dir! smile

smile

Also wir haben nun die gemeinsame Verteilung von X,Y und W mit

Erwartungsvektor: $\begin{eqnarray*} \mu=(0,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$

Kovarianz Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 & 1 & 0 \\3/4 &2 & 0,5 & 0 &0 \\ 1 & 0,5 & 1 &0,5 &0 \\ 1 & 0 & 0,5 & 1 &0 \\ 0 &0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun daraus die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_{X,Y | W}(x,y|w) \end{eqnarray*}$ berechnen?

Das geht doch mit der Formel: $\begin{eqnarray*} p_{X,Y | W}(x,y|w) = p_{Y |X, W}(y|x,w) p_{X}(x) \end{eqnarray*}$

(Ich glaube das gilt, wegen der Definition der Bedingten W'keit, angewendet auf X,Y, dann geht X auf die bedingte Seite. )

Ich möchte jetzt gerne beide Seiten von $\begin{eqnarray*} p_{X,Y | W}(x,y|w) = p_{Y |X, W}(y|x,w) p_{X}(x) \end{eqnarray*}$ ausrechnen, um mir klar zu machen, dass das wirklich gilt.
Am liebsten würde ich dann noch ein Bild dazu malen, um es noch deutlicher zu machen.

Naja wie auch immer, ich fang mal mit der linken Seite an:

$\begin{eqnarray*} p_{X,Y | W}(x,y|w) \end{eqnarray*}$ Das ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y bedingt W.
Am besten ich rechne zunächst einmal die gemeinsame Verteilung von X und Y aus:

Die gemeinsame Verteilung von X und Y ist normalverteilt mit:

Erwartungsvektor: $\begin{eqnarray*} \mu=(0,0,0) \end{eqnarray*}$

und Kovarianzmatrix: $\begin{eqnarray*} \Sigma_{XY}=\begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 \\ 3/4 & 2 & 0,5 \\ 1 & 0,5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun, ich habe eine Formel im Internet gefunden, womit man $\begin{eqnarray*} p_{X,Y | W}(x,y|w) \end{eqnarray*}$ bestimmen kann (siehe Bild)

KP, wie man auf die Formel kommt weißt du das ?

Naja Hauptsache nach der Formel würde dann folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \mu= (0,0) +\begin{pmatrix} 2 & 3/4 & 1 \\ 3/4 & 2 & 0,5 \\ 1 & 0,5 & 1 \end{pmatrix} *1(Y-\mu_Y) \end{eqnarray*}$ , was ich jetzt nicht verstehe ist, was soll ich für Y einsetzen? verwirrt

verwirrt

25.06.2021, 21:14

Ll15

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Hal9000 bist du noch da? traurig

traurig

traurig

27.06.2021, 12:14

Ll15

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Hat jmd vllt. eine Idee? Gott

Gott

28.06.2021, 13:50

Ll15

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Ich verstehe nicht, weshalb ich plötzlich keine Antwort mehr kriege. Kann mir das bitte jemand erklären? Ich meine, wenn man nicht vor hatte mir zu helfen, weshalb schreibt man mir dann?
Sorry, aber ich finde das echt asozial. Naja ihr könnt gerne diesen Thread schließen.

Wünsche jeden der die Nachricht hier ließt einen schönen angenehmen Tag!

28.06.2021, 15:16

HAL 9000

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Echt asozial ist, wie du dich aufführst: Mit welchem Recht forderst du hier ein, dass man dich ständig bemuttert? Wenn du denkst, dass man wegen einiger Antworten, die dich auf den Weg führen sollen die Verpflichtung hat, ständig dran zu bleiben, dann täuschst du dich. Wenn ich jeden Fragesteller so anbellen würde, der sich wochenlang oder überhaupt nicht wieder blicken lässt, na dann gute Nacht. unglücklich

unglücklich

28.06.2021, 16:10

Ll15

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Gut ist deine Meinung, allerdings halte ich nicht viel davon:

Du kannst einen Fragesteller nicht mit einem Helfer vergleichen. Wenn der Fragesteller nicht mehr antwortet, war dann die Hilfe Umsonst? Natürlich nicht! Denn es sind ja noch andere Leser vorhanden und das geschriebene (vom Helfer) kann anderen helfen. Wenn der Helfer plötzlich nicht mehr antwortet, dann bringt das KEINEM was!

Natürlich ist der Helfer NICHT verpflichtet weiter zu helfen! Aber in meinen Augen ist das halt asozial! Man könnte wenigstens schreiben, dass man keine Zeit/Lust mehr hat. Manche Fragesteller sind nunmal auf die Hilfe angewiesen. Nicht jeder hat jemanden, mit dem er den Lernstoff durchgehen kann.

Naja, ich habe keine Lust mit dir zu diskutieren. Ich danke dir trotzdem für deine angefangene Hilfe.

28.06.2021, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ll15
Aber in meinen Augen ist das halt asozial!

Sehr schön, wie du hier die UNENTGELTLICHE Nachhilfe herabwürdigst. Such dir bezahlte Nachhilfe, die darfst du dann nach Lust und Laune beschimpfen - solange die es sich gefallen lassen. Und Tschüss. Finger2

Finger2

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