b) für a=b

24.06.2021, 23:14

Archimedes_91

Grenzwert berechnen von 1/(a-b) ln(a/b) für a=b

Hallo zusammen,
Wie berechne ich folgenden Grenzwert?

$\begin{eqnarray*} \lim _{a/b \to 1} \frac{1}{a-b} ln\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

24.06.2021, 23:33

Ulrich Ruhnau

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RE: Grenzwert berechnen von 1/(a-b) ln(a/b) für a=b

Zitat:

Original von Archimedes_91
Hallo zusammen,
Wie berechne ich folgenden Grenzwert?

$\begin{eqnarray*} \lim _{a/b \to 1} \frac{1}{a-b} ln\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim _{a/b \to 1} \frac{1}{a-b} \ln\frac{a}{b} =\lim _{a\to b} \frac{\ln a-\ln b}{a-b} \end{eqnarray*}$ und anschließend die Regel von de Hospital verwenden!

25.06.2021, 00:54

Finn_

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@Ulrich Ruhnau

Für ein differenzierbares $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist das die Argumentation

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}(f(x+h)-f(x))}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}h} = \lim_{h\to 0} f'(x+h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \end{eqnarray*}$

Man setze $\begin{eqnarray*} f:=\ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x:=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h:=a-b \end{eqnarray*}$ .

25.06.2021, 06:43

Leopold

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Mit $\begin{align*} t = \frac{a}{b} \end{align*}$ schreibt man $\begin{align*} \frac{\ln \frac{a}{b}}{a-b} = \frac{1}{b} \cdot \frac{\ln(t) - \ln(1)}{t - 1} \end{align*}$ .

Der zweite Faktor ist der Differenzenquotient der Logarithmusfunktion an der Stelle 1 und strebt für $\begin{align*} t \to 1 \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \left. \frac{\dd \ln(t)}{\dd t} \right|_{\ t=1} = \frac{1}{1} = 1 \end{align*}$ . Das Grenzverhalten des Ausdrucks wird daher durch das Grenzverhalten von $\begin{align*} \frac{1}{b} \end{align*}$ bestimmt. Man kann sich da alles Mögliche denken, zum Beispiel

$\begin{align*} a = (-1)^n \cdot 3n^2 - n + 2 \, , \ \ b = (-1)^n \cdot 3n^2 + 2n - 5 \end{align*}$

oder

$\begin{align*} a = (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n} \, , \ \ b = (-1)^n \cdot 2 - \frac{4}{n^2} \end{align*}$

Man lasse jeweils $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gehen.

25.06.2021, 07:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Grenzwert berechnen von 1/(a-b) ln(a/b) für a=b

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \lim _{a/b \to 1} \frac{1}{a-b} \ln\frac{a}{b} =\lim _{a\to b} \frac{\ln a-\ln b}{a-b} \end{eqnarray*}$ und anschließend die Regel von de Hospital verwenden!

Um der Verwirrung ein Ende zu machen:

$\begin{eqnarray*} \lim _{a/b \to 1} \frac{1}{a-b} \ln\frac{a}{b} =\lim _{a\to b} \frac{\ln a-\ln b}{a-b} =\lim _{a\to b} \frac{\frac{\partial (\ln a -\ln b)}{\partial a}}{\frac{\partial (a-b)}{\partial a}}=\lim _{a\to b} \frac{\frac 1a }1=\frac 1b \end{eqnarray*}$

25.06.2021, 09:45

Guppi12

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Das ergibt keinen Sinn, der Limes kann nicht von b abhängen.

25.06.2021, 13:08

Leopold

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Hätte Ulrich meinen Beitrag durchgelesen, so wäre ihm das vermutlich nicht passiert.

$\begin{align*} \frac{a}{b} \to 1 \end{align*}$ ist nicht äquivalent mit $\begin{align*} a \to b \end{align*}$ .

Vermutung: Der Fragesteller hat uns Voraussetzungen über $\begin{align*} a,b \end{align*}$ vorenthalten, die er für unwesentlich hält, die hier aber möglicherweise zu einer eindeutigen Lösung der Aufgabe führen.

25.06.2021, 13:54

Finn_

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Man muss aber dazu sagen, dass der Threadersteller in der Überschrift »für a=b« geschrieben hat, was man als $\begin{eqnarray*} a\to b \end{eqnarray*}$ interpretieren kann. Da tut sich die Frage auf, woher diese Zweideutigkeit entspringt. Entweder der Threadersteller hat selbst schon diesen Fehler gemacht, oder es ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} a\to b \end{eqnarray*}$ gemeint.

Edit: Oder die dritte Option trifft zu: mit »für a=b« ist nicht $\begin{eqnarray*} a\to b \end{eqnarray*}$ gemeint.

25.06.2021, 18:04

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \frac{a}{b} \to 1 \end{align*}$ ist nicht äquivalent mit $\begin{align*} a \to b \end{align*}$ .

Hallo Leopold, ich glaube Dir vieles, aber das nicht. Kannst Du mir ein Beispiel bringen, wo $\begin{eqnarray*} \frac ab\to 1 \end{eqnarray*}$ geht ohne daß $\begin{eqnarray*} a\to b \end{eqnarray*}$ geht?
Zugegeben: $\begin{eqnarray*} b\to a \end{eqnarray*}$ ginge auch. Aber hinterher ist a=b, womit sich der kleine Unterschied in Wohlgefallen auflöst.

25.06.2021, 19:01

Archimedes_91

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Vielen Dank für die Fülle an Antworten.

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stehen hier für jeweils zwei Querschnitte. Das Problem ist aus einem physikalischen Problem entnommen. Man kommt dann auf das oben erwähnte Problem, wenn die beiden Querschnitte gleich sind. Ich weiß, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} 1/b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1/a \end{eqnarray*}$ sein muss. Es ist ja egal welches der beiden Lösungen man hinschreibt, da ja $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt möchte ich aber wissen, wie man dies mathematisch richtig zeigt.

Also wo ist der Unterschied, wenn ich schreibe $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\rightarrow b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \rightarrow a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b/a \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a/b \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch alles äquivalent, oder?

Natürlich kann ich $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ nicht unter dem limes schreiben (kenn ich zumindest nicht), jedoch ist doch mathematisch das selbe gemeint?

Korrigiert mich, wenn etwas nicht stimmt.

25.06.2021, 19:05

Guppi12

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Das sind zwei völlig verschiedene Sachen, das ist in etwa, als würdest du Fragen, was der Unterschied zwischen einem Apfel und einer Birne ist, da weiß man gar nicht, wo man anfangen soll smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{a/b\to1}f(a,b) \end{eqnarray*}$ kann nicht von a oder b abhängen. Das ist genauso, wie $\begin{eqnarray*} lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ nicht von n abhängen kann für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ . Das ist in dem Ausdruck einfach keine Variable.

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\to b}f(a,b) \end{eqnarray*}$ könnte aber sehr wohl von b abhängen, in diesem Ausdruck ist b eine Variable.

In dem Beispiel hier ist es so, dass man bei a/b -> 1 einen nicht existenten Limes hat und bei a -> b einen, der existiert und von b abhängt.

25.06.2021, 19:27

Finn_

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Ehrlich gesagt wüsste ich zunächst einmal gerne, wie ein Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varphi(p)\to q} f(p) \end{eqnarray*}$

definiert ist. Für ein bijektives $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ erscheint mir

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varphi(p)\to q} f(p) := \lim_{t\to q} f(\varphi^{-1}(t)) \end{eqnarray*}$

sinnvoll. Für ein nicht-injektives $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ darf ich doch mit Fug und Recht fragen, was damit gemeint sein soll.

25.06.2021, 20:21

Leopold

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Kannst Du mir ein Beispiel bringen, wo $\begin{eqnarray*} \frac ab\to 1 \end{eqnarray*}$ geht ohne daß $\begin{eqnarray*} a\to b \end{eqnarray*}$ geht?

Das habe ich längst getan. Ich brauche mich hier nicht zu wiederholen.

25.06.2021, 21:23

Guppi12

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Moin. Ausdrücke dieser Art definiert man gewöhnlicherweise so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\phi(p)\to q}f(p) = c :\Leftrightarrow \forall_{\epsilon >0}\exists _{\delta>0} \forall p ~~(|\phi(p)-q| < \delta \Rightarrow |f(p)-c|<\epsilon) \ \end{eqnarray*}$

Dabei bei den Betragsstrichen immer die Norm auf dem jeweiligen Raum denken. Hier ist p aus R^2.

25.06.2021, 21:34

IfindU

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@Guppi: Vermutlich wird man dazu noch fordern, dass $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\phi) \end{eqnarray*}$ ist, damit man so etwas wie Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hat.

25.06.2021, 23:29

Guppi12

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Ja, das klingt sinnvoll, danke für den Einwand.

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Grenzwert berechnen von 1/(a-b) ln(a/b) für a=b

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