Eingeschlossene Fläche

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fullhd Auf diesen Beitrag antworten »
Eingeschlossene Fläche
Hallo

Es geht um die Berechnung der von der Kurve eingeschlossenen Fläche mit und

Ich habe die gesuchte Fläche mal für a=1 geplottet, ich hoffe das stimmt so (siehe Anhang)

Man könnte die Parameterdarstellung für bestimmte Intervalle als Funktion y(x) beschreiben, aber das ist dann vermutlich nicht leicht zu integrieren und daher wohl so nicht gewollt.

Wie würdet ihr an die Aufgabe herangehen ?

Gibt es eine Formel zur Flächenberechnung, wenn die Kurve in Parameterform gegeben ist ?

Ich habe es mal mit der Formel versucht :



Im letzten Schritt habe ich den trig. Pythagoras genutzt.

Ist das überhaupt zielführend und wenn ja, wie löst man das Integral dann am besten ? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eingeschlossene Fläche
Die Fläche ist gleich dem Betrag deines Integrals.

Zitat:
Original von fullhd
Ist das überhaupt zielführend und wenn ja, wie löst man das Integral dann am besten ? verwirrt

Das ist zielführend. Es gibt verschiedene Methoden. Man kann das Integral mittels des trigonometrischen Pythagoras auf Integrale über und zurückführen. Dann kann man benutzen:





Jetzt setzt man die erste Formel ein. Das Integral über führt man ähnlich der ersten Formel auf ein Integral über einen nicht quadrierten Sinus zurück.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Identität



ist der Rest trivial zu bewältigen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sektorformel »beruht« übrigens auf der Formel



für den signierten Flächeninhalt des von aufgespannten Parallelogramms. Dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks, welches mit der Bewegung von nach überstrichen wird. Für eine kleine Bewegung auf der Parameterkurve ergibt sich



Der Pseudoskalar ist konstant und darf daher wie vor das Integral gezogen werden.
fullhd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe.

Na dann wollen wir mal :

Aus und folgt :



Für das Integral bedeutet das somit :



Für die Fläche resultiert demnach

Ist das so in Ordnung ?

Zitat:
Die Fläche ist gleich dem Betrag deines Integrals.


Hätte ich das mit dem Betrag am Ende auch vermeiden können, indem ich das Integal anders aufgestellt hätte oder passiert das mit dieser Parametrisierung zwangsläufig ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis ist richtig.

Zitat:
Original von fullhd
Zitat:
Die Fläche ist gleich dem Betrag deines Integrals.

Hätte ich das mit dem Betrag am Ende auch vermeiden können, indem ich das Integal anders aufgestellt hätte oder passiert das mit dieser Parametrisierung zwangsläufig ?

Die Sektorformel von Leibniz liefert den orientierten Flächeninhalt. Er wird positiv, wenn man die Kurve entgegen dem Uhrzeigersinn durchläuft und negativ, wenn man sie im Uhrzeigersinn durchläuft.
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eingeschlossene Fläche
Über

hatte ich dasselbe Ergebnis erhalten.

Nun wollte ich es mit der alternativen Formel


bestätigen.
Die Menge ist sternförmig mit (0|0) als Zentrum.
Ich kann mir jetzt gerade nicht erklären, warum Online-Rechner damit eine Fläche von

zurückgeben.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht das Argument. Für das Argument gilt:



Daraus erhält man







Wenn du deinen Integranden noch mit dem -Ausdruck multiplizierst, sollte es klappen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke schon mal. Ich ahne, wo ich mich getäuscht habe. Schau es mir aber nochmal genauer an.
Nun, so schön die Formel ist, brauche ich sie sehr selten, da kann ich durchaus was übersehen.
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