Eingeschlossene Fläche |
27.06.2021, 09:42 | fullhd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eingeschlossene Fläche Es geht um die Berechnung der von der Kurve eingeschlossenen Fläche mit und Ich habe die gesuchte Fläche mal für a=1 geplottet, ich hoffe das stimmt so (siehe Anhang) Man könnte die Parameterdarstellung für bestimmte Intervalle als Funktion y(x) beschreiben, aber das ist dann vermutlich nicht leicht zu integrieren und daher wohl so nicht gewollt. Wie würdet ihr an die Aufgabe herangehen ? Gibt es eine Formel zur Flächenberechnung, wenn die Kurve in Parameterform gegeben ist ? Ich habe es mal mit der Formel versucht : Im letzten Schritt habe ich den trig. Pythagoras genutzt. Ist das überhaupt zielführend und wenn ja, wie löst man das Integral dann am besten ? |
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27.06.2021, 11:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eingeschlossene Fläche Die Fläche ist gleich dem Betrag deines Integrals.
Das ist zielführend. Es gibt verschiedene Methoden. Man kann das Integral mittels des trigonometrischen Pythagoras auf Integrale über und zurückführen. Dann kann man benutzen: Jetzt setzt man die erste Formel ein. Das Integral über führt man ähnlich der ersten Formel auf ein Integral über einen nicht quadrierten Sinus zurück. |
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27.06.2021, 11:24 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der Identität ist der Rest trivial zu bewältigen. |
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27.06.2021, 12:05 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Sektorformel »beruht« übrigens auf der Formel für den signierten Flächeninhalt des von aufgespannten Parallelogramms. Dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks, welches mit der Bewegung von nach überstrichen wird. Für eine kleine Bewegung auf der Parameterkurve ergibt sich Der Pseudoskalar ist konstant und darf daher wie vor das Integral gezogen werden. |
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27.06.2021, 14:26 | fullhd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Hilfe. Na dann wollen wir mal : Aus und folgt : Für das Integral bedeutet das somit : Für die Fläche resultiert demnach Ist das so in Ordnung ?
Hätte ich das mit dem Betrag am Ende auch vermeiden können, indem ich das Integal anders aufgestellt hätte oder passiert das mit dieser Parametrisierung zwangsläufig ? |
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27.06.2021, 14:56 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Ergebnis ist richtig.
Die Sektorformel von Leibniz liefert den orientierten Flächeninhalt. Er wird positiv, wenn man die Kurve entgegen dem Uhrzeigersinn durchläuft und negativ, wenn man sie im Uhrzeigersinn durchläuft. |
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27.06.2021, 18:37 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eingeschlossene Fläche Über hatte ich dasselbe Ergebnis erhalten. Nun wollte ich es mit der alternativen Formel bestätigen. Die Menge ist sternförmig mit (0|0) als Zentrum. Ich kann mir jetzt gerade nicht erklären, warum Online-Rechner damit eine Fläche von zurückgeben. |
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27.06.2021, 19:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist nicht das Argument. Für das Argument gilt: Daraus erhält man Wenn du deinen Integranden noch mit dem -Ausdruck multiplizierst, sollte es klappen. |
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27.06.2021, 20:00 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja danke schon mal. Ich ahne, wo ich mich getäuscht habe. Schau es mir aber nochmal genauer an. Nun, so schön die Formel ist, brauche ich sie sehr selten, da kann ich durchaus was übersehen. |
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