Bijektivität

28.06.2021, 12:47

Thomas007

Bijektivität

Hallo zusammen

Ich möchte folgende Behauptung meinerseits kurz verifizieren: $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist von N nach N nicht-bijektiv, da nicht alle Werte der Definitionsmenge auf die Wertemenge abgebildet werden können (alle Werte müssen ja in N sein).

Stimmt das so?

Herzliche Grüsse, Thomy

28.06.2021, 12:59

HAL 9000

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Da liegt ein Fehler vor:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ genügt gar nicht der Anforderung $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , z.B. ist $\begin{eqnarray*} f(2)=\sqrt{2}\not\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . D.h., die Definition ist da schon kaputt, da hat es erst recht keinen Sinn schon über irgendwelche Eigenschaften wie Bijektivität zu reden. unglücklich

Meinst du womöglich $\begin{eqnarray*} f(x)=\left\lfloor\sqrt{x}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ (d.h. mit Gaußklammer) ? verwirrt

28.06.2021, 20:09

Pippen

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Wenn man Thomas‘ Konstrukt als Funktion ansieht, dann wäre sie jedenfalls nicht bijektiv, denn zB hätte der Definitionswert 2 keinen „Partner“, genauso wie 3 u.v.a.

29.06.2021, 10:34

Thomas007

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Nein HAL hat schon recht. Eine Wurzelfunktion (ohne Gauss-Klammern) kann man gar nicht definieren, ohne dem Def.- und Wertebereich zu widersprechen (bzw. nur dem Wertebereich).

29.06.2021, 22:48

Pippen

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Zitat:

Original von Thomas007
Nein HAL hat schon recht. Eine Wurzelfunktion (ohne Gauss-Klammern) kann man gar nicht definieren, ohne dem Def.- und Wertebereich zu widersprechen (bzw. nur dem Wertebereich).

Aber selbst wenn man es könnte, so wäre sie nie bijektiv.

29.06.2021, 23:08

IfindU

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Zitat:

Original von Pippen
Wenn man Thomas‘ Konstrukt als Funktion ansieht, dann wäre sie jedenfalls nicht bijektiv, denn zB hätte der Definitionswert 2 keinen „Partner“, genauso wie 3 u.v.a.

Das ist keine Definition von Bijekitvität von Funktionen, sondern eine Verletzung der Linkstotalität einer Relation und damit der Definition einer Funktion.

Klingt für mich: Selbst wenn die Katze ein Hund wäre, so hätte Sie keine 5 Flossen, weil sie doch Ohren hat.

01.07.2021, 02:59

Pippen

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Laut Deiser spielt Linkstotalität keine Rolle, siehe: https://www.aleph1.info/Resource?method=...t=62&pageend=64, dort die erste Definition. Oder ergibt sich dort irgendwo implizit die Linkstotalität?

01.07.2021, 11:18

Elvis

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Deiser schreibt einleitend "Ähnlich wie Cantor „Menge“ definiert hat, könnten wir „Funktion“ definieren als eine Vorschrift, die jedem Element einer bestimmten Menge, dem sogenannten Definitionsbereich der Funktion, eindeutig ein bestimmtes Objekt zuordnet."

Nach der Definition der Rechtseindeutigikeit schreibt er "Funktionen sind also rechtseindeutige Relationen. Etwas anders formuliert: Eine Relation f ist eine Funktion genau dann, wenn für jedes a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f ) genau ein b existiert mit (a, b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f."

Damit ist der Wertebereich und die Linkstotalität hinreichend erklärt.

01.07.2021, 23:53

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Deiser schreibt einleitend "Ähnlich wie Cantor „Menge“ definiert hat, könnten wir „Funktion“ definieren als eine Vorschrift, die jedem Element einer bestimmten Menge, dem sogenannten Definitionsbereich der Funktion, eindeutig ein bestimmtes Objekt zuordnet."

Nach der Definition der Rechtseindeutigikeit schreibt er "Funktionen sind also rechtseindeutige Relationen. Etwas anders formuliert: Eine Relation f ist eine Funktion genau dann, wenn für jedes a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ dom(f ) genau ein b existiert mit (a, b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f."

Damit ist der Wertebereich und die Linkstotalität hinreichend erklärt.

Deiser tut dort so, als ob sich die Linkstotalität aus seiner Definition irgendwie en passant ergibt - tut sie aber mE nicht. Oder? Dann ist aber seine Definition unvollständig. Ich hab mir zB seine Definition notiert und dann erst im Zusammenhang mit diesem Thread gemerkt, dass ich die Linkstotalität gar nicht auf dem Schirm hatte.

02.07.2021, 00:53

zweiundvierzig

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Siehe Def. "Funktion von A nach B". Die Bedingung ist dom(f)=A.

02.07.2021, 01:42

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Siehe Def. "Funktion von A nach B". Die Bedingung ist dom(f)=A.

Das steht aber nirgends in Deisers Definition. Ich habs jetzt so gemacht: ich habe hinter Deisers „Funktionsdefinition“ (die mE nur die Rechtseindeutigkeit definiert) noch formuliert: …und wenn für jedes a € dom(f) mindestens ein b existiert mit (a,b) € f. Damit bin ich auf der sicheren Seite.

02.07.2021, 07:06

Guppi12

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Ich bin nach dem Lesen der Definition aus dem Link auch der Meinung, dass diese unvollständig ist.

02.07.2021, 10:15

zweiundvierzig

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Siehe: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_3_Z3

So oder so entspricht seine Definition des Begriffs "Funktion" (ohne Angabe der Signatur) nicht dem Standard.

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