Archimedische Spirale kleinster Abstand zu Punkt |
| 29.06.2021, 05:42 | Gerrik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Archimedische Spirale kleinster Abstand zu Punkt Hi, hoffentlich bin ich hier an der richtigen Stelle. Ich habe zwei Gleichungen, die die X und Y - Werte einer archimedischen Spirale anhand eines gegeben Winkels bestimmen. x = c + (a + b * t) * cos(t)| y = c + (a + b * t) * sin(t) |-> P(t) = {x|y} a,b,c => konstant a und b bestimmen die Form, c verschiebt den Ausgangspunkt t = Winkel in Rad Mein Problem ist folgendes: Ich möchte den Winkel berechnen, der die kürzeste Vektordistanz zwischen irgendeinem Punkt und der Spirale ergibt. Ich versuch das schon seit 3 Tagen, es macht mich wahnsinnig. Versuch einer Skizze: ( _ _ . _ ) Rechts näher als links. Latex scheint nicht zu laufen. Ich bekomme in der Vorschau nichts angezeigt. Muss es eben ohne gehen. Meine Ideen: Ich weiß nicht, ob das überhaupt der richtige Weg ist. Wenn ich in die Vektordistanzgleichung: d=sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) die Spirale und einen Punkt einsetze: d=sqrt(((c + (a + b * t) * cos(t)) - p_x)^2 + ((a + b * t) * sin(t) - p_y)^2) und die erste Ableitung erstelle: d'= ((a+b*t)*((c-p_y)*cos(t)+(-c+p_x)*sin(t))) / sqrt((c-p_x+(a+b*t)*cos(t))^2 + (c-p_y+(a+b*t)*sin(t))^2) dann gleich 0 setze und den nicht benötigten Nenner weg lasse: ((a+b*t)*((c-p_y)*cos(t)+(-c+p_x)*sin(t))) = 0 bin ich nicht in der Lage nach t umzuformen. |
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| 01.07.2021, 15:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Archimedische Spirale kleinster Abstand zu Punkt
Das ist algebraisch auch nicht möglich, wenn die Unbekannte sowohl als Argument einer trigonometrischen Funktion als auch daneben noch als Polynomterm aufscheint. Schon einfach erscheinende goniometrische Gleichungen wie x- cos(x) = 0 oder x*sin(x) = 3 lassen sich algebraisch nicht nach x umformen bzw. lösen. Dazu bedient man sich verschiedener Näherungsverfahren. Viele dieser Gleichungen haben überdies - bedingt durch die Periodizität der Winkelfunktionen - unendlich viele Lösungen, sodass der Definitionsbereich eingeschränkt werden muss. Für den Extremwert des Abstandes eines Kurvenpunktens von P muss NICHT die Wurzel geschrieben werden, denn auch das Quadrat des Abstandes nimmt an den gleichen Stellen einen Extremwert an. In deinem Fall habe ich mal a = b = c = 1 und P(10;16) gesetzt, das Quadrat des Abstandes als zu minimierende Funktion eingeführt und eine Grafik der Spirale erstellt. Die Ableitung der Abstandsfunktion ist bereits recht komplex und deren Nullstellen aus o.a. Gründen nur näherungsweise berechenbar. [attach]53251[/attach] Wie man sieht, gibt es mehrere minimale (und auch maximale) Abstände von P. Die Extremstellen sind hier im Winkelbereich von 0 bis 4pi durch ein Näherungsverfahren bestimmt worden. mY+ |
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