Klassisch konstruierter Grenzprozess?

29.06.2021, 08:58

quadrierer

Klassisch konstruierter Grenzprozess?

Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. Sie fehlen daher auch im Internet und auch in der Internet- Enzyklopädie Wikipedia.
Mit nur einer Zirkelöffnung $\begin{eqnarray*} (r_{1} \end{eqnarray*}$ =|MA|= $\begin{eqnarray*} r_{3}=|DC_{1}|= r_{5} = r_{7} \end{eqnarray*}$ usw.) wird mein hier vorgezeigter klassisch konstruierter Grenzprozess (Bild)
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durch eine Sequenz von Kreis-und Gerade-Objekten (Zirkel und Lineal) realisiert. Durch Wiederholungen von Schritte-Zyklen $\begin{eqnarray*} (g_{n}und\,\,k_{n+1}, dann g_{n+2;}und\,k_{n+3}\,\, usw.) \end{eqnarray*}$ kann bei Bedarf der Prozess endlos fortgesetzt werden. Dabei strebt die erzeugte Folge von Schnittpunkten D; G; K usw. offenbar einem Grenzpunkt $\begin{eqnarray*} G_{Grenz} \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ endlos zu, wobei der aktuell letzte Punkte-Abstand zu Grenzpunkt $\begin{eqnarray*} G_{Grenz} \end{eqnarray*}$ gegenüber dem vorletzten Punkte-Abstand immer kleiner wird.
Probierende und korrigierende Schritte finden hierbei nicht statt, so dass ein autokonvergenter Prozess vorliegt.

Fragen:

1.) Kann beweisen werden, dass es für $\begin{eqnarray*} G_{Grenz} \end{eqnarray*}$ eine konstante gesetzmässigen Abhängigkeit zum unabhängig variablen Punkt B gibt, der beliebig zwischen den Punkten A und C liegt?

2.) Für welche fundamentale Berechnungsaufgabe mit dem erwarteten Ergebnispunkt $\begin{eqnarray*} G_{Grenz} \end{eqnarray*}$ ist dieser vorgezeigte klassisch konstruierte Grenzprozess ein exakter und nicht nur ein genäherter Berechnungsprozess?

29.06.2021, 16:30

Leopold

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Es scheint um eine Folge $\begin{align*} g_0,k_1,g_2,k_3,g_4,k_5,\ldots \end{align*}$ zu gehen, die einer Iterationsvorschrift genügt. Bitte gib die Iterationsvorschrift in Worten an:

$\begin{align*} k_{2n+1} \end{align*}$ entsteht aus $\begin{align*} g_{2n} \end{align*}$ , indem man ...
$\begin{align*} g_{2n+2} \end{align*}$ entsteht aus $\begin{align*} k_{2n+1} \end{align*}$ , indem man ...

Sonst versteht man dein Anliegen nicht. Es erscheint mir auch nicht sinnvoll, Schnittpunkte, die bei der Iteration je Schritt entstehen, mit dem lateinischen Alphabet durchzunummerieren. Sinnvoll wäre es, denselben Bezeichner für gleichartige Schnittpunkte zu verwenden und einen Index auf der Basis der natürlichen Zahlen anzubringen, zum Beispiel $\begin{align*} P_0,P_1,P_2, \ldots \end{align*}$ .

Es kann passieren, daß man durch eine Argumentation nicht durchsteigt, weil einem der Verstand fehlt, den Sachverhalt zu begreifen. Ebenso kann es aber sein, daß eine einfache Sache durch die verschwurbelte und ungenaue Sprache des Vortragenden vernebelt wird, um Tiefsinn und Wissenschaftlichkeit vorzutäuschen.

30.06.2021, 15:59

quadrierer

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Die folgenden Ergänzungen sollen die Verständlichkeit der Aufgabe verbessern, wie es Leopold anregt:

In meiner Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis und Gerade- Objekte wird zuerst das Grundsystem mit den kartesischen Achsen X und Y und einem Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ mit dem Radius |MA| gezeichnet. Der unabhängig variable Punkt B auf Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ kann zwischen den Punkten A und C liegen. Die gezeichnete Lösungssequenz startet mit einem beliebig gelegenen Punkt $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ auf der Y-Achse, der einen Abstand von Punkt C kleiner der Radiusgrösse |MA|=|MC| haben kann.
Der sich wiederholende Iterationszyklus, mit i=1; 2; 3 usw, besteht jeweils aus zwei nacheinander gezeichneten Objekten Gerade $\begin{eqnarray*} g_{2i} \end{eqnarray*}$ und Kreis $\begin{eqnarray*} k_{2i+1} \end{eqnarray*}$ .

Iterationszyklus i=1
$\begin{eqnarray*} g_{2i} \end{eqnarray*}$ ist die erste gezeichnete Strahl- Gerade von Punkt B aus. Sie ist durch Punkt $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ auf der Y-Achse gezeichnet. Um $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ wird der Kreisbogen $\begin{eqnarray*} k_{2i+1} \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r_{2i+1}=|MA| \end{eqnarray*}$ gezeichnet, welcher die Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k_{1}; x; k_{2i+1}) =E \end{eqnarray*}$ erzeugt.
Die Notation $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1}) \end{eqnarray*}$ symbolisiert mit „x“ zwischen den Kurven-Objekten Gerade $\begin{eqnarray*} g_{2i} \end{eqnarray*}$ und Kreis $\begin{eqnarray*} k_{2i+1} \end{eqnarray*}$ deren Schneiden.

Iterationszyklus i=2
$\begin{eqnarray*} g_{2(i)} \end{eqnarray*}$ ist wieder die zuerst gezeichnete Strahl- Gerade von Punkt B aus. Sie ist durch Punkt $\begin{eqnarray*} E=S(k1; x; k_{2i+1}) \end{eqnarray*}$ auf Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ gezeichnet und erzeugt Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(Y; x; g_{2i} )=F. \end{eqnarray*}$ . Um F wird der Kreisbogen $\begin{eqnarray*} k_{2i+1} \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r_{2i+1}=|MA| \end{eqnarray*}$ gezeichnet, der die Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k_{1}; x; k_{2i+1}) =H \end{eqnarray*}$ erzeugt.

Iterationszyklus i=3
$\begin{eqnarray*} g_{2(i)} \end{eqnarray*}$ ist wieder die zuerst gezeichnete Strahl- Gerade von Punkt B aus. Sie ist durch Punkt $\begin{eqnarray*} H=S(k_{1}; x; k_{2i+1}) \end{eqnarray*}$ auf Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ gezeichnet und erzeugt Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(Y; x; g_{2i})=J \end{eqnarray*}$ . Um J wird der Kreisbogen $\begin{eqnarray*} k_{2i+1} \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r_{2i+1}=|MA| \end{eqnarray*}$ gezeichnet, der die Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k_{1}; x; k_{2i+1}) =L \end{eqnarray*}$ erzeugt.
usw.

Der jeweils letzte aktuell erzeugte Schnittpunkt der Folge D; G; K ...

i=1 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=S(g_{2}; x; k_{3})=D \end{eqnarray*}$
i=2 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=G \end{eqnarray*}$
i=3 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=K \end{eqnarray*}$
i=4 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=O \end{eqnarray*}$
i=5 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x,; k_{2i+1})=R \end{eqnarray*}$
i=6 $\begin{eqnarray*} S(g_{2i}; x; k_{2i+1})=S(g_{12}; x; k_{13})=T \end{eqnarray*}$

hat einen geringeren Abstand zum Grenzpunkt $\begin{eqnarray*} G_{Grenz} \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ als der vorletzte erzeugte Schnittpunkt der Folge. Mit wachsendem i wird auch der Abstand zwischen den Folge- Schnittpunkten immer kleiner.

05.08.2021, 14:35

quadrierer

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RE: Klassisch konstruierter Grenzprozess?
Warum wird im Startbeitrag die folgende Bildanzeige nicht mehr angezeigt?

Zitat:

Original von quadrierer

[attach]53240[/attach]

Bild neu hochgeladen.
[attach]53446[/attach]

21.08.2021, 16:29

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Ebenso kann es aber sein, daß eine einfache Sache durch die verschwurbelte und ungenaue Sprache des Vortragenden vernebelt wird, um Tiefsinn und Wissenschaftlichkeit vorzutäuschen.

Kann es auch sein, dass meine vorgetragene einfache Sache, ich nenne sie „ klassisch konstruierter Grenzprozess für ein ....“, über bekanntes veröffentlichtes Wissen hinaus geht und es deshalb Probleme beim Verstehen gibt?

Auf was, auf welche konkrete Aufgabenlösung führt der Grenzpunkt dieses Grenzprozesses?

22.08.2021, 13:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Kann es auch sein, dass meine vorgetragene einfache Sache, ich nenne sie „ klassisch konstruierter Grenzprozess für ein ....“, über bekanntes veröffentlichtes Wissen hinaus geht und es deshalb Probleme beim Verstehen gibt?

Ich tippe eher auf Ermüdungserscheinungen bei Publikum. Aber das ist natürlich nur meine ganz persönliche Meinung. Augenzwinkern

22.08.2021, 21:20

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ermüdungserscheinungen bei Publikum

Ermüdung beim Publikum, eher nein, was die immer noch anwachsende Anzahl der Klicks zeigt,
Ermüdung bei den aktiven Diskutanten, schon möglich? Sind die angesprochenen klassisch konstruierten Grenzprozesse vielleicht als ungeliebtes Thema die Ursache? Einst hat sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem Sammelwerk ELEMENTE nicht betrachtet, was als Trend bis heute andauert.

23.08.2021, 15:36

Leopold

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Ich habe mir einmal Zeit genommen, um deine Konstruktion analytisch zu untersuchen. Dein Beitrag vom 30. Juni hat klargemacht, wie das Ganze vonstatten geht. Allerdings sind deine Bezeichnungen nicht sehr instruktiv. Ich erlaube mir daher, Umbenennungen vorzunehmen.

Deine Punkte $\begin{align*} C_1,F,J,\ldots \end{align*}$ heißen bei mir $\begin{align*} C_1,C_2,C_3,\ldots \end{align*}$ und die Kreise um diese Punkte $\begin{align*} k_1,k_2,k_3,\ldots \end{align*}$ . Und deine $\begin{align*} E,H,L,\ldots \end{align*}$ sind bei mir $\begin{align*} E_1,E_2,E_3,\ldots \end{align*}$ .

Den Kreis $\begin{align*} k \end{align*}$ um $\begin{align*} M \end{align*}$ darf man als Einheitskreis um den Ursprung eines Koordinatensystem annehmen. Dann haben wir noch die Punkte $\begin{align*} A=(1,0) \end{align*}$ und $\begin{align*} C=(0,1) \end{align*}$ sowie den Punkt

$\begin{align*} B = \left( \cos(\varphi), \sin(\varphi) \right) \ \ \text{mit einem} \ \ \varphi \in \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$

[attach]53527[/attach]

Die Punkte $\begin{align*} C_n \end{align*}$ liegen auf der $\begin{align*} y \end{align*}$ -Achse:

$\begin{align*} C_n = \left( 0 , y_n \right) \, , \ \ 0 < y_n < 2 \end{align*}$

Nun der Schritt $\begin{align*} n \mapsto n+1 \end{align*}$ .

Der Kreis $\begin{align*} k_n \end{align*}$ wird mit $\begin{align*} k \end{align*}$ geschnitten. $\begin{align*} E_n \end{align*}$ sei der Schnittpunkt mit negativer Abszisse. Da $\begin{align*} k \end{align*}$ und $\begin{align*} k_n \end{align*}$ den gleichen Radius besitzen, ist die Ordinate von $\begin{align*} E_n \end{align*}$ halb so groß wie die von $\begin{align*} C_n \end{align*}$ , also $\begin{align*} y = \frac{1}{2} y_n \end{align*}$ . Und da der Punkt $\begin{align*} E_n \end{align*}$ auf $\begin{align*} k \end{align*}$ liegt, kann man seine Abszisse mit $\begin{align*} x^2 + y^2 = 1 \end{align*}$ berechnen. Man erhält:

$\begin{align*} E_n = \left( - \frac{1}{2} \sqrt{4 - {y_n}^2} , \frac{1}{2} y_n \right) \end{align*}$

Die Gerade durch $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} E_n \end{align*}$ wird nun mit der $\begin{align*} y \end{align*}$ -Achse geschnitten und führt auf $\begin{align*} C_{n+1} \end{align*}$ . Man setzt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ in die Geradengleichung ein und erhält

$\begin{align*} y_{n+1} = \sin(\varphi) + \frac{\left( y_n - 2 \sin(\varphi) \right) \cos(\varphi)}{2 \cos(\varphi) + \sqrt{4 - {y_n}^2}} \end{align*}$

Ohne Beweis gehe ich davon aus, daß die Folge $\begin{align*} \left( y_n \right) \end{align*}$ einen Grenzwert $\begin{align*} \eta \end{align*}$ besitzt. Für diesen muß dann gelten:

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \eta = \sin(\varphi) + \frac{\left( \eta - 2 \sin(\varphi) \right) \cos(\varphi)}{2 \cos(\varphi) + \sqrt{4 - \eta^2}} \end{align*}$

Man löst nach der hier vorkommenden Wurzel auf und quadriert. Beseitigen der Nenner und eine Anwendung des trigonometrischen Pythagoras führt auf die biquadratische Gleichung

$\begin{align*} \eta^4 - 2 \eta^3 \sin(\varphi) - 3 \eta^2 + 8 \eta \sin(\varphi) - 4 \sin^2(\varphi) = 0 \end{align*}$

Die letzte Gleichung besitzt offenbar die Lösung $\begin{align*} \eta = 2 \sin(\varphi) \end{align*}$ , so daß man einen Linearfaktor abspalten kann:

$\begin{align*} \eta^3 \left( \eta - 2 \sin(\varphi) \right) - \left( \eta - 2 \sin(\varphi) \right) \cdot \left( 3 \eta - 2 \sin(\varphi) \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \left( \eta - 2 \sin(\varphi) \right) \left( \eta^3 - 3 \eta + 2 \sin(\varphi) \right) = 0 \end{align*}$

Setzt man $\begin{align*} \eta = 2 \sin(\varphi) \end{align*}$ in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ ein, erhält man den Widerspruch $\begin{align*} 2 \sin(\varphi) = \sin(\varphi) \end{align*}$ . Für den gesuchten Grenzwert muß daher

$\begin{align*} \eta^3 - 3 \eta + 2 \sin(\varphi) = 0 \end{align*}$

gelten. Das erinnert frappant an ein Sinusgesetz zur Winkeldrittelung: $\begin{align*} \sin(\varphi) = 3 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) - 4 \sin^3 \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ . Das setzt man ein:

$\begin{align*} \eta^3 - 3 \eta + 6 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) - 8 \sin^3 \left( \frac{1}{3} \varphi \right) = 0 \end{align*}$

Und man erkennt, daß $\begin{align*} \eta = 2 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ eine Lösung der letzten Gleichung ist. Folglich kann man den entsprechenden Linearfaktor abspalten:

$\begin{align*} \left( \eta - 2 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \right) \left( \left( \eta + \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \right)^2 - 3 \cos^2 \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \right) = 0 \end{align*}$

Der zweite Faktor liefert die Lösungen $\begin{align*} \eta = \sqrt{3} \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right) - \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} \eta = - \sqrt{3} \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right) - \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ . Diese können aber nicht mit dem gesuchten Grenzwert übereinstimmen, denn für $\begin{align*} 0 < \varphi < \frac{1}{2} \pi \end{align*}$ ist der erste Wert immer $\begin{align*} >1 \end{align*}$ , der zweite immer $\begin{align*} <0 \end{align*}$ . Dann bleibt nur noch der Fall $\begin{align*} \eta = 2 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ übrig. Damit haben wir herausgefunden:

$\begin{align*} y_n \to 2 \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty \end{align*}$

Da die Ordinate von $\begin{align*} E_n \end{align*}$ immer halb so groß wie die von $\begin{align*} C_n \end{align*}$ ist, streben die Punkte $\begin{align*} E_n \end{align*}$ einem Punkt $\begin{align*} E \in k \end{align*}$ zu, dessen Ordinate $\begin{align*} \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$ ist. Damit besitzt $\begin{align*} E \end{align*}$ als Punkt im II. Quadranten in Polarkoordinaten das Argument $\begin{align*} \pi - \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ .

Das von quadrierer vorgestellte Verfahren drittelt daher einen Winkel.

Das war nun eine Untersuchung mit im wesentlichen analytischen Methoden. Die Untersuchung ist noch nicht in jedem Detail abgesichert.
Man darf auch gern rein geometrische Überlegungen anstellen. Vielleicht will quadrierer darauf hinaus.

Ergänzung (24.8.2021)

Eine einfachere Lösung geht so. Es sei $\begin{align*} e_n \end{align*}$ die Ordinate von $\begin{align*} E_n \end{align*}$ . Aus $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ erhält man

$\begin{align*} e_{n+1} = \frac{1}{2} \left( \sin(\varphi) + \frac{\left( e_n - \sin(\varphi) \right) \cos(\varphi)}{\cos(\varphi) + \sqrt{1 - {e_n}^2}} \right) \end{align*}$

Schreibt man nun

$\begin{align*} e_n = \sin(\alpha_n) \ \ \text{mit} \ \ 0 < \alpha_n < \frac{\pi}{2} \end{align*}$

bekommt man für den Grenzwinkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ der $\begin{align*} \alpha_n \end{align*}$ die Gleichung

$\begin{align*} \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \left( \sin(\varphi) + \frac{\left( \sin(\alpha) - \sin(\varphi) \right) \cos(\varphi)}{\cos(\alpha) + \cos(\varphi)} \right) \end{align*}$

Man macht daraus eine bruchfreie Gleichung:

$\begin{align*} 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(\varphi) \cos(\alpha) - \cos(\varphi) \sin(\alpha) \end{align*}$

$\begin{align*} \sin(2 \alpha) = \sin(\varphi - \alpha) \end{align*}$

Da die Argumente zwischen 0 und $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ liegen, folgt

$\begin{align*} 2 \alpha = \varphi - \alpha \end{align*}$

$\begin{align*} \alpha = \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$

26.08.2021, 16:03

quadrierer

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Leopolds Beiträge machen deutlich, mein administrativ verschobenes Rätsel in die „philosophische unmathematische Ebene“ (Off-Tonic) hat offenbar doch mit Mathematik zu tun. Auch von den hier ins Spiel gebrachten „Ermüdungserscheinungen“ fehlt bei Leopold und Interessenten, welche die Klick-Anzahl (Hits) hochtreiben, offensichtlich jede Spur.

Leopold, für deine Mühe bis hin zur erarbeiteten Einsicht:

Zitat:

Original von Leopold
Das von quadrierer vorgestellte Verfahren drittelt daher einen Winkel.
$\begin{align*} 2 \alpha = \varphi - \alpha \end{align*}$
$\begin{align*} \alpha = \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$

danke ich dir sehr! Du warst wiedermal der Einzige, der sich ernsthaft mit meiner, unter die euklidische Blockade fallenden Fragestellung beschäftigte. Du hast mit analytischen Betrachtungen das Rätsel nachvollziehbar gelöst, zwar anders als ich es vermutete und besser als ich es und viele andere hingekriegt hätten. Damit sind nun auch die den klassisch konstruierten Grenzprozessen zugrundeliegenden geometrischen Zusammenhänge von einer ganz anderen Seite her erstmals betrachtet.

27.08.2021, 06:49

Leopold

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Du machst es einem aber auch nicht leicht. Dein erster Beitrag in diesem Strang war schlicht unverständlich. Bitte beachte, daß jemand, der sich intensiv mit einer Sache beschäftigt hat und weiß, wie die Bezeichnungen und Zusammenhänge sind, nicht voraussetzen kann, daß ein Fremder das ebenso kennt. Eine nichttriviale Zeichnung erklärt sich nicht von selbst, sondern ihre Dynamik ist vor dem Leser zu entwickeln. Und das ist die Aufgabe des Autors. Dein zweiter Beitrag hat diese Erklärung dann nachgeholt. Leider waren die Bezeichnungen nicht suggestiv, sondern willkürlich gewählt, so daß ich nach einem oberflächlichen Durchlesen keine Lust hatte, mich damit zu beschäftigen. Jetzt in den Ferien habe ich die Zeit gefunden, mich durchzuwühlen. Die Sache selbst finde ich ganz interessant. Es geht um die Winkeldreiteilung. Die dahintersteckende Idee beschreibe ich im Folgenden.

Das Bild zeigt einen Halbkreis um $\begin{align*} M \end{align*}$ vom Radius 1. Die weiteren Angaben entnehme man der Figur. Im schraffierten Dreieck kann der Strahlensatz angewandt werden:

$\begin{align*} \frac{x}{\sin(\varphi) - \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right)} = \frac{\cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)}{\cos(\varphi) + \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)} \end{align*}$

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$\begin{align*} x = \frac{\left( \sin(\varphi) - \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \right) \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)}{\cos(\varphi) + \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)} = \frac{2 \cos \left( \frac{2}{3} \varphi \right) \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)}{2 \cos \left( \frac{2}{3} \varphi \right) \cos \left( \frac{1}{3} \varphi \right)} = \sin \left( \frac{1}{3} \varphi \right) \end{align*}$

Im Zähler wurde $\begin{align*} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos \left( \frac{1}{2} \left( \alpha + \beta \right) \right) \sin \left( \frac{1}{2} \left( \alpha - \beta \right) \right) \end{align*}$ , im Nenner $\begin{align*} \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos \left( \frac{1}{2} \left( \alpha + \beta \right) \right) \cos \left( \frac{1}{2} \left( \alpha - \beta \right) \right) \end{align*}$ verwendet.

Die Strecke $\begin{align*} MG \end{align*}$ ist daher doppelt so groß wie die Strecke $\begin{align*} FE \end{align*}$ .

[Oder mit einer elementaren Winkeljagd (EDIT 27.8.2021):
Das Dreieck $\begin{align*} MBE \end{align*}$ ist gleichschenklig und besitzt bei $\begin{align*} M \end{align*}$ einen Winkel von $\begin{align*} 180^{\circ} - \frac{4}{3} \varphi \end{align*}$ , folglich bei $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} E \end{align*}$ Winkel der Größe $\begin{align*} \frac{2}{3} \varphi \end{align*}$ . Und weil im Dreieck $\begin{align*} MGE \end{align*}$ bei $\begin{align*} M \end{align*}$ der Winkel $\begin{align*} 90^{\circ} - \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ beträgt, bleiben in diesem Dreieck bei $\begin{align*} G \end{align*}$ noch $\begin{align*} 90^{\circ} - \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ übrig. Damit ist $\begin{align*} MGE \end{align*}$ gleichschenklig, was zur Folge hat, daß $\begin{align*} MG \end{align*}$ doppelt so groß wie $\begin{align*} FE \end{align*}$ ist. (Warum einfach, wenn es auch umständlich geht ...)]

Nun denkt man sich den Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ zwischen 0° und 90° und den Punkt $\begin{align*} B \end{align*}$ gegeben. Dagegen ist der Punkt $\begin{align*} E \end{align*}$ , der schließlich $\begin{align*} \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ bestimmt, gesucht. Man kann sich den Punkt $\begin{align*} E \end{align*}$ zunächst im Nordpol vorstellen. Man verbindet ihn mit $\begin{align*} B \end{align*}$ durch eine Strecke. Nun gleitet der Punkt $\begin{align*} E \end{align*}$ gegen den Uhrzeigersinn über den Halbkreis und zieht die Strecke $\begin{align*} BE \end{align*}$ mit sich. Wo die Vertikale durch $\begin{align*} M \end{align*}$ getroffen wird, liegt $\begin{align*} G \end{align*}$ . Man stoppt, sobald die Strecke $\begin{align*} MG \end{align*}$ doppelt so groß wie die Strecke $\begin{align*} FE \end{align*}$ ist, wie in der Figur oben dargestellt. In dieser Lage ist der Winkel links unten $\begin{align*} \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ .
Im Anhang gibt es noch eine dynamische Zeichnung mit Euklid.

Dein Iterationsverfahren erzeugt Lagen des Punktes $\begin{align*} E \end{align*}$ , so daß deren Grenzpunkt gerade das gesuchte $\begin{align*} E \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ ist. Wo hast du die Konstruktion her? Steckt da ein bekannter Name dahinter oder hast du dir das selbst ausgedacht?

@ Administrator
Ich denke, man kann diesen Strang in ein anderes Unterforum verschieben, zum Beispiel Geometrie. Erledigt. Steffen

29.08.2021, 21:30

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold

Dein Iterationsverfahren erzeugt Lagen des Punktes $\begin{align*} E \end{align*}$ , so daß deren Grenzpunkt gerade das gesuchte $\begin{align*} E \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{1}{3} \varphi \end{align*}$ ist. Wo hast du die Konstruktion her? Steckt da ein bekannter Name dahinter oder hast du dir das selbst ausgedacht?

Meine vorgezeigte Konstruktion, ich nenne sie klassisch konstruierter Grenzprozess, ist meine eigene Erfindung, mein eigenes Werk. Eine Quellenangabe habe ich hier nicht vergessen, wie es im alltäglichen Leben immer mal wieder vorkommt, mit in letzter Zeit gefühlter Häufigkeit bei Politikern und wegen gewisser Gleichheit auch bei Politikerinnen.

Diese meine Konstruktion, ich habe noch weitere Lösungen nach dem gleichen Lösungsprinzip, sehe ich als konvergente und noch zutreffender, als klassisch konstruierte autokonvergente Grenzprozesse. Die Präzisierung „auto-“ wähle ich, weil im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen und korrigierenden Massnahmen getroffen werden müssen, um zu den Grenzpunkten zu gelangen.

14.09.2021, 04:31

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold

Es geht um die Winkeldreiteilung. Die dahintersteckende Idee beschreibe ich im Folgenden. ....

[attach]53544[/attach]

[Oder mit einer elementaren Winkeljagd (EDIT 27.8.2021): ....

Ich füge hier noch meine Idee zum besagten Winkelzusammenhang an. Dabei knüpfe ich an überliefertes Wissen (z.B auch von Archimedes) an und entwickle es für die konkrete Problemlösung weiter und erkenne auch Ansätze zu Möglichkeiten für ein ganzzahliges „Winkelteilen“.
[attach]53617[/attach]
[attach]53616[/attach]

14.09.2021, 21:09

rumar

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RE: Klassisch konstruierter Grenzprozess?
Ich habe jetzt gar nicht alle Beiträge durchgelesen, hätte aber eine sehr einfache Idee anzubieten:
Durch fortgesetztes Halbieren von Teilwinkeln kann man aus dem zuerst vorliegenden Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sehr leicht eine Folge von Winkeln konstruieren, welche gegen den Grenzwinkel $\begin{eqnarray*} \frac \varphi 3 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Grundidee: $\begin{eqnarray*} \qquad \frac 1 2 - \frac 1 4 + \frac 1 8 - \frac 1 {16} \ \pm.....\ =\ \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

15.09.2021, 06:48

HAL 9000

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Es geht quadrierer nicht um eine einfache Methode zur Winkeldrittelung, sondern um eine, die er als seine Idee ausgeben kann. Augenzwinkern

Zitat:

Original von quadrierer
und erkenne auch Ansätze zu Möglichkeiten für ein ganzzahliges „Winkelteilen“.

Es ist kein großes Problem, die von rumar nochmal vorgeholte Grundidee auf beliebige ungerade $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zu erweitern:

Betrachten wir die kleinste positive Zahl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2^r\equiv 1\bmod m \end{eqnarray*}$ , eine solche Zahl gibt es, und es ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} r\mid \varphi(m) \end{eqnarray*}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray*} 2^r-1 = m\cdot s \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner positiven ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

Wollen wir nun Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gleichgroße Teile zerlegen, so nutzen wir

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{m} = \frac{s\alpha}{2^r-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{s\alpha}{2^{kr}} \end{eqnarray*}$ .

D.h., wir nehmen $\begin{eqnarray*} s\alpha \end{eqnarray*}$ und halbieren den immer wieder $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -mal, und immer nach diesen jeweils $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Halbierungen addieren wir den Winkel konstruktiv auf zum im Ergebnis "klassisch konstruierten Grenzprozesswinkel" (oder so ähnlich, der Experte mag die Sprache korrigieren). Ist also kein Akt, das auf diese Weise approximativ hinzukriegen.

Und das auf beliebige ganzzahlige statt nur ungerade $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zu erweitern, dazu bedarf es nun nicht viel Phantasie.

P.S.: Dies ist meine Idee, meine eigene Erfindung, mein eigenes Werk ( Big Laugh

) - zumindest in diesem Moment hier im Thread. Allerdings gehe ich davon aus, dass auch schon andere diese Idee hatten, und habe daher keine Ambitionen, mich mit Erfinderlorbeeren zu schmücken, weil das überhaupt auch lächerlich wäre.

15.09.2021, 18:24

quadrierer

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RE: Klassisch konstruierter Grenzprozess?

Zitat:

Original von rumar
Ich habe jetzt gar nicht alle Beiträge durchgelesen, ......

Hättest du hier im Forum schon alle Beiträge zu Verfahren/Prozessen eines klassisch konstruierten Winkeldrittelns gelesen, dann wüsstest du, dass deine hier eingebrachte Idee schon öfter neu erfunden wurde.
Das positive an deiner vorgetragenen Idee ist, du erkennst sie als einen klassisch konstruierbaren Grenzpozess an, der ein allgemeines Dritteln von Strecken und auch von Winkeln exakt leistet.
Es ist eine Frage der Sichtweise, ob die klassisch konstruierten Grenzprozess-Verfahren zum Dritteln von Winkeln den exakten oder nur den genäherte Verfahren zugeordnet werden? Hier sehe ich im Wesentlichen zwei unterschiedliche Sichtweisen:

Eine Sichtweise ist die heute allgemein praktizierte:
Grenzprozesse sind Näherungen, denn mit den immer nur endlos viel ausgeführten Schritten gibt es immer nur eine unvollständige Ergebnisdarstellung und nicht die erwartete exakte vollständige Ergebnis-Darstellung.

Eine andere Sichtweise, die ich vertrete, ist:
Fallen die Grenzpunkte=Grenzwerte der besagten Grenzprozesse mit den Winkeldritteln exakt zusammen, dann sind es exakte Lösungsprozesse. Davon wird bei der Grenzwert-Darstellung,

$\begin{eqnarray*} \qquad \frac 1 2 - \frac 1 4 + \frac 1 8 - \frac 1 {16} \ \pm.....\ =\ \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

ausgegangen.
Nach nur unvollständiger Ausführung des Grenzprozesses wird nur eine unvollständig dargestellte Grösse des Winkeldrittels erzeugt. Mit mehr ausgeführten Schritten kann das Ergebnis immer vollständiger dargestellt werden. Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

15.09.2021, 18:52

Leopold

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So langsam beginne ich zu ahnen, worin die Verständnisprobleme von quadrierer liegen. Ganz hab ich's aber noch nicht.

$\begin{align*} \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} < \frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} > \frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} < \frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} > \frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} < \frac{1}{3} \end{align*}$

Immer gilt $\begin{align*} > \end{align*}$ oder $\begin{align*} < \end{align*}$ , niemals gilt $\begin{align*} = \end{align*}$ . Keine der Summen ist jemals 1 Drittel.

$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} + \ldots = \frac{1}{3} \end{align*}$

Das ist nur eine legere Schreibweise für

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - + \ldots + (-1)^{n-1} \frac{1}{2^n} \right) = \frac{1}{3} \end{align*}$

Das unterscheidet diese Reihe aber von keiner andern, für die auch diese legere Schreibweise möglich ist:

$\begin{align*} \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \ldots = \frac{\pi}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \ldots = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} 3 + 0{,}1 + 0{,}04 + 0{,}001 + 0{,}0005 +0{,}00009 + \ldots = \pi \end{align*}$

16.09.2021, 06:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

Also ich kapiere beim besten Willen nicht, was das "solch genauere" des Quadrierer-Verfahrens sein soll. Vielleicht kommt Leopold dem endlich mal auf die Schliche.

16.09.2021, 14:53

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
So langsam beginne ich zu ahnen, worin die Verständnisprobleme von quadrierer liegen. Ganz hab ich's aber noch nicht.
..
„Immer gilt > oder <, niemals gilt =. Keine der Summen ist jemals 1 Drittel.„

Hier schlage ich vor, den obigen Sachverhalt wie folgt darzustellen:
$\begin{align*} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} + .. \thickapprox \frac{1}{3} \end{align*}$

Die nur zwei Punkte gehen dabei mit einem gedanklichen Sprung einher, dass der Summationsprozess abgebrochen wird und so nur endlich viele Summanden berücksichtigt werden. Dabei wird nur die genäherte unvollständige „Reihensumme“ erzeugt, was ich hier mit $\begin{eqnarray*} \thickapprox \end{eqnarray*}$ beschreibe. Ich bin mir nicht ganz sicher ob sich mein hier dargelegter Notationsvorschlag etablieren wird. Fürs Erklären hilft er hoffentlich.

Die „legere Schreibweise“, wie du es nennst, nutzt die Notation mit den drei Punkten oder auch die mit dem Überstrich, wie $\begin{eqnarray*} 0,\bar{3} =1/3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0,\bar{9}=1 \end{eqnarray*}$ oder der mit dem Limes, wie
$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - + \ldots + (-1)^{n-1} \frac{1}{2^n} \right) = \frac{1}{3} \end{align*}$
und vollzieht auch hier einen gedanklicher Sprung, der quasi endlos viele Summanden berücksichtigt sieht, mit denen etwas Sinnvolles erzeugt wird, quasi die „Endlossumme“, der Grenzwert der unendlichen Reihe.

16.09.2021, 19:03

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von quadrierer Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

Also ich kapiere beim besten Willen nicht, was das "solch genauere" des Quadrierer-Verfahrens sein soll. Vielleicht kommt Leopold dem endlich mal auf die Schliche.

Näherungsverfahren zum beschränkten Dreiteilen des Winkels, wie das vom berühmten Maler Albrecht Dürer, kommt dem Winkeldrittel nahe. Es ist dann aber Schluss, weil dieses Näherungsverfahren vom Konstruktionsplan her nicht mehr hergibt, keine weiteren zielführenden Schritte umfasst.
Weitere solche Näherungsverfahren zum beschränkten Dreiteilen des Winkels findet man bei Wikipedia unter „ Dreiteilen des Winkels, sowie viele weitere im Buch von N. Fialkowski „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860. Hier findet sich auf Seite 11 auch das erste veröffentlichte Grenzprozess-Verfahren für ein unbeschränktes exaktes Winkeldritteln. Fialkowski nimmt hier die endlose geometrische 1/3-Reihe zur Kohärenzgrundlage.
Gute exakte Grenzprozess-Verfahren zum Dreiteilen des Winkels kommen mit sehr sehr wenigen Schritten, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, dem Winkeldrittel schon extrem nahe, wie meine vorgezeigten Grenzprozess-Winkeldreiteilungen zeigen. Durch Massnahmen zur Verbesserung der Konvergenz habe ich die notwendige Zahl der Schritte für eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit nochmals erheblich gesenkt. Hierbei ist, anders als bei den Näherungen nach endlich vielen Schritten nicht Schluss, da der exakte Konstruktionsplan weitere Schritte bis ins Endlose umfasst, ohne selbst dafür endlos viele Planungsschritte zu umfassen. Dies wird durch Iterationen (Wiederholungen) von Schrittezyklen möglich, wie es mein Bild am Anfang dieses threads zeigt.

16.09.2021, 19:47

HAL 9000

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Kann sein (oder nicht), dass dein Verfahren eine höhere Konvergenzgeschwindigkeit oder gar -ordnung aufweist als die klassischen Verfahren basierend auf Geometrischen Reihensummen, will ich gar nicht in Abrede stellen. Aber dann kommt wieder so ein Geschwurbel:

Zitat:

Original von quadrierer
Hierbei ist, anders als bei den Näherungen nach endlich vielen Schritten nicht Schluss, da der exakte Konstruktionsplan weitere Schritte bis ins Endlose umfasst, ohne selbst dafür endlos viele Planungsschritte zu umfassen.

Auch bei den von dir als minderwertig abklassifizierten klassischen Verfahren kann man das Winkeldrittel beliebig genau konstruieren, indem man die Schrittzahl entsprechend anpasst. Dein ständiges Suggerieren, dass bei diesen Verfahren irgendwann "Schluss" sei mit der Annäherung (was man so lesen kann, dass man ein gewisses festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ an Fehler nicht unterschreiten kann) ist schlicht unwahr, um nicht zu sagen: Kompletter Blödsinn.

17.09.2021, 07:59

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000

Auch bei den von dir als minderwertig abklassifizierten klassischen Verfahren kann man das Winkeldrittel beliebig genau konstruieren, indem man die Schrittzahl entsprechend anpasst. Dein ständiges Suggerieren, dass bei diesen Verfahren irgendwann "Schluss" sei mit der Annäherung (was man so lesen kann, dass man ein gewisses festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ an Fehler nicht unterschreiten kann) ist schlicht unwahr, um nicht zu sagen: Kompletter Blödsinn.

Vielleicht sind es Missverständnisse aus Vermischungen bei den Begriffen „Verfahren für das Winkeldritteln“ die uns trennen? Ich weiss es nicht?

Ich stimme deiner Einsicht dann zu, wenn du vorzeigst, wie bei genäherten Verfahren (du nennst sie „minderwertig abklassifiziert klassische Verfahren“) zum Winkeldritteln, durch Anpassen der Schrittzahl, zu einer beliebig hohen Genauigkeit gelangt wird. Zeige es bitte für das genäherte Verfahren, das einst Albrecht Dürer veröffentlichte.

17.09.2021, 08:11

HAL 9000

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Ich rede von der Methode per fortwährender Winkelhalbierung und dann "alternierender" Auswahl des nächsten zu halbierenden Sektors (ob das die Dürer-Methode ist, weiß ich nicht, die interessiert mich nicht), welche auf der Geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}-\frac{1}{4} + \frac{1}{8} -+\ldots = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

basiert: Der Grenzwert (= Reihenwert) ist nun mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , und zum Grundwissen zu konvergenten Reihen gehört nun mal, dass man zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine Partialsumme der Reihe findet, die sich vom Reihenwert um höchstens $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ unterscheidet (weiß natürlich nicht, wie es um dein Analysis-Grundwissen bestellt ist). Diese Methode ist wohlbekannt, und ja um Längen einfacher als das, was du hier im Thread anfangs vorgestellt hast, und sicher nicht weniger "exakt" als diese.

Oben hieß es noch sehr verallgemeinernd

Zitat:

Original von quadrierer
Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

und jetzt ziehst du dich plötzlich auf die Dürer-Methode zurück - so nicht, mein Herr!

17.09.2021, 12:57

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Oben hieß es noch sehr verallgemeinernd

Zitat:

Original von quadrierer
Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

und jetzt ziehst du dich plötzlich auf die Dürer-Methode zurück - so nicht, mein Herr!

Wir reden aneinander vorbei, da wir mit unterschiedlicher Sichtweise argumentieren. Hier treffen zwei verschiedenen Ansichten zum Begriff Näherung aufeinander. Im Beitrag vom 15.9.2021 habe ich diese Unterschiede schon mal beschrieben. Ich kann mich hier nur noch mal wiederholen und dabei einiges präzisieren.
Die klassisch konstruierten Grenzprozess-Verfahren zum Dritteln von Winkeln können je nach Sichtweise exakte oder auch nur genäherte Verfahren sein?

Eine Sichtweise, der du offenbar nahe stehst, ist:
Grenzprozesse sind Näherungen, denn mit den immer nur endlos viel ausgeführten Schritten gibt es immer nur eine unvollständige Ergebnisdarstellung und nicht die erwartete exakte vollständige Ergebnis-Darstellung.

Eine andere Sichtweise, der ich nahe stehe, ist:
Grenzprozesse sind hier keine Näherungen, wenn die Grenzpunkte=Grenzwerte mit den Winkeldritteln exakt zusammen fallen. Es sind dann exakte Lösungsprozesse. Davon wird auch bei den bekannten und gebräuchlichen Grenzwert-Darstellungen,
$\begin{eqnarray*} \qquad \frac 1 2 - \frac 1 4 + \frac 1 8 - \frac 1 {16} \ \pm.....\ =\ \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ oder auch bei 0,9...=1 oder 3*0,3...=1 usw. ausgegangen.
Nach nur unvollständiger Ausführung des Grenzprozesses, der keine Näherung ist, wird nur eine unvollständig dargestellte Grösse des Winkeldrittels erzeugt. Mit mehr ausgeführten Schritten kann das Ergebnis immer vollständiger dargestellt werden. Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungsverfahren für das Winkeldritteln, die keine Grenzprozesse sind (Dürer, Kopf und weitere), kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

17.09.2021, 13:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungsverfahren für das Winkeldritteln, die keine Grenzprozesse sind (Dürer, Kopf und weitere), kann keine solche genauere Winkeldrittel-Darstellung erreicht werden.

Fassen wir zusammen:

Mit dem obigen ungenauen "Bei den aus der Fachliteratur bekannten Näherungen für das Winkeldritteln" meinst du nur diese Verfahren von Dürer & Co., aber nicht die ebenfalls aus der Fachliteratur bekannten (insgesamt WESENTLICH bekannteren) Verfahren basierend auf der o.g. Geometrischen Reihe der Winkelhalbierungen. Wenn du dich doch nur mal gleich klarer ausdrücken könntest - aber ich fürchte, dahin werden wir wohl nie kommen.

17.09.2021, 13:44

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du dich doch nur mal gleich klarer ausdrücken könntest

Ich muß schon bei diesem Komparativ schmunzeln:

Zitat:

Original von quadrierer
immer vollständiger

17.09.2021, 14:09

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Diese Methode ist wohlbekannt, und ja um Längen einfacher als das, was du hier im Thread anfangs vorgestellt hast, und sicher nicht weniger "exakt" als diese.

Es wäre wohl nicht nur für mich interessant, dass du deine angesprochene wohlbekannte Methode mal wirklich vorzeigst und ihre behauptete Einfachheit mit dem hier im Thread anfangs vorgestellten Winkeldritteln konkret vergleichst.

17.09.2021, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Es wäre wohl nicht nur für mich interessant, dass du deine angesprochene wohlbekannte Methode mal wirklich vorzeigst und ihre behauptete Einfachheit mit dem hier im Thread anfangs vorgestellten Winkeldritteln konkret vergleichst.

Ich hätte ja nicht gedacht, dass man die einem Experten wie dir noch beschreiben muss - aber gut, warum nicht:

Gehen wir zunächst mal von einem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha < 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ aus (nur der Einfachheit der Beschreibung wegen), mit Scheitel in Ursprung, ein Schenkel auf der positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und der andere im ersten Quadranten.

Dieser Winkel wird jetzt konstruktiv halbiert, dann betrachten wir die untere Winkelhälfte, dann wird diese halbiert und betrachten davon die obere Winkelhälfte, dann wieder unten, oben, unten usw. im alternierenden Wechsel. Der Schenkel, der dann im Grenzrprozess entsteht, bildet mit der positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse den Winkel

$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+-\ldots\right) = \frac{\alpha}{3} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich hab das ganze nur in das Koordinatensystem gelegt, damit dieses "oben" und "unten" einen Sinn macht. Prinzipiell ist das Verfahren natürlich nicht an diese Lage bzw. das $\begin{eqnarray*} \alpha < 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ gebunden.

17.09.2021, 17:02

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Diese Methode ist wohlbekannt, und ja um Längen einfacher als das, was du hier im Thread anfangs vorgestellt hast, und sicher nicht weniger "exakt" als diese.

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hätte ja nicht gedacht, dass man die einem Experten wie dir noch beschreiben muss - aber gut, warum nicht:

Ich bin enttäuscht, ich hatte für mich Unbekanntes oder gar Neues von dir erhofft. Leider wiederholst du nur etwas, was von mir zuerst hier im Forum angesprochen wurde. Und es fehlt auch ein Hinweis auf die wohl erste bekannte Quelle (1860) und den Autor N.Fialkowski, der das exakte Verfahren zum Winkeldritteln durch Halbierungen erfand. Fialkowski hat seinem Verfahren wegen dessen schwacher Konvergenz keine grosse praktische Bedeutung zugesprochen. Deine Aussage im ersten Zitat in diesem Beitrag widerspricht aber der von Fialkowski. Wie kommt das zustande?.

17.09.2021, 17:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Ich bin enttäuscht, ich hatte für mich Unbekanntes oder gar Neues von dir erhofft. Leider wiederholst du nur etwas, was von mir zuerst hier im Forum angesprochen wurde.

Du hast wirklich nicht alle Nadeln an der Tanne: Erst forderst du von mir, die Konstruktion zu beschreiben, indem du dich blöd stellst ("Es wäre wohl nicht nur für mich interessant, dass du deine angesprochene wohlbekannte Methode mal wirklich vorzeigst") - um es mir dann hinterher vorzuwerfen.
ROFL

Im übrigen habe ich nie behauptet, dass es "meine" Methode ist: Dieses egozentrische Gehabe ist dein Markenzeichen hier im Thread bzw. überhaupt im Forum, welches ich oben nur mal kurz auf die Schippe genommen hatte. Augenzwinkern

Die angegebene Konstruktion ist exakt in dem Sinne, dass im Grenzwert der Drittelwinkel rauskommt. Und sie ist schön einfach, denn wie sagte schon Sergei Koroljow (Vater der russischen Raumfahrt):

"Je einfacher eine Konstruktion ist, desto genialer ist sie. Kompliziert bauen kann jeder."

Zitat:

Original von quadrierer
Und es fehlt auch ein Hinweis auf die wohl erste bekannte Quelle (1860) und den Autor N.Fialkowski, der das exakte Verfahren zum Winkeldritteln durch Halbierungen erfand.

Das bezweifle ich aber stark, dass dieser Fialkowski der erste war, nur weil er sie in seinem Werk erwähnt hat. Die Idee ist mit Sicherheit älter, wenn nicht gar aus der Antike (auch wenn es damals noch am heute bekannten Grenzwertbegriff fehlte). Und der Hinweis fehlt nicht, weil ich hier keine wissenschaftliche Arbeit schreibe und auch keinen Anspruch auf dieses Verfahren erhebe. Also lass idiotische Vorhaltungen dieser Art sein, ist nur lächerlich.

Übrigens kannst du dich mal nützlich machen, und einen Wikipedia-Artikel über diesen N.Fialkowski verfassen: Den gibt es nämlich noch nicht, weder in Deutsch noch Englisch - eine Schande, wo er doch ein so verdienstvoller Erfinder geometrischer Konstruktionsverfahren war.

Zitat:

Original von quadrierer
Fialkowski hat seinem Verfahren wegen dessen schwacher Konvergenz keine grosse praktische Bedeutung zugesprochen.

Ja und? Hat doch keiner behauptet, dass dieses einfache Verfahren in Hinsicht Konvergenzgeschwindigkeit überragende Fähigkeiten hat - ich verweise auf meine diesbezügliche Anmerkung oben:

Zitat:

Original von HAL 9000
Kann sein (oder nicht), dass dein Verfahren eine höhere Konvergenzgeschwindigkeit oder gar -ordnung aufweist als die klassischen Verfahren basierend auf Geometrischen Reihensummen, will ich gar nicht in Abrede stellen.

Mir ging es einzig und allein darum, deine unterschwellig verallgemeinernde Behauptung richtig zu stellen, dass die "in der Fachliteratur bekannten Näherungen" nicht exakt seien.

17.09.2021, 19:15

quadrierer

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@ HAL9000
Ich könnte auf deine letzten Erwiderungen wieder welche schreiben und in einige Punkten mit dir auch übereinstimmen. Das bringt uns hier nicht mehr weiter, den das Wesentliche zu den Grenzprozessen für das Winkeldritteln ist wohl abgehandelt.

Bleibt noch deine Zusammenfassung:

„Mir ging es einzig und allein darum, deine unterschwellig verallgemeinernde Behauptung richtig zu stellen, dass die "in der Fachliteratur bekannten Näherungen" nicht exakt seien.“

Lassen wir es damit gut sein. Nach deiner Sichtweise hast du dein verfolgtes Anliegen erreicht, nach meiner Sichtweise eher nicht, denn es hängt noch von der Antwort auf die offene Frage ab: Welche sind konkret die exakten und welche die genäherten Verfahren/ Prozesse für das Winkeldritteln?

18.09.2021, 07:16

Leopold

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Ich beschreibe quadrierers Konstruktionsverfahren einmal präzise und von allem Gerümpel befreit. Ich habe es leicht modifiziert, damit das gesuchte Winkeldrittel im vorgegebenen Winkel liegt. Um alles gut rechnerisch verfolgen zu können, lege ich die Konstruktion in die Gaußsche Zahlenebene.

Vorgegeben sei auf dem Einheitskreis im I. Quadranten der Punkt

$\begin{align*} b = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \varphi} \ \ \text{mit} \ \ 0 < \varphi < \frac{\pi}{2} \end{align*}$

Die Winkeldrittelung läuft auf die Bestimmung von

$\begin{align*} b^{\frac{1}{3}} = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\varphi}{3}} \end{align*}$

hinaus. Zu einem $\begin{align*} z \end{align*}$ auf dem rechten Halbkreis wird $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ folgendermaßen konstruiert:

1. Man zeichnet die Gerade durch $\begin{align*} z \end{align*}$ und $\begin{align*} - \frac{1}{b} \end{align*}$ (das ist das Bild von $\begin{align*} b \end{align*}$ bei Spiegelung an der imaginären Achse). Ihr Schnitt mit der imaginären Achse sei $\begin{align*} 2w \end{align*}$ .

2. Jetzt wird der Mittelpunkt $\begin{align*} w \end{align*}$ zwischen 0 und $\begin{align*} 2w \end{align*}$ bestimmt.

3. Schließlich wird $\begin{align*} w \end{align*}$ parallel zur reellen Achse nach rechts auf den Einheitskreis projiziert. Der Projektionspunkt ist $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ .

Man kann das rechnerisch implementieren. Die Punkte 1. und 2. werden von der Möbiustransformation

$\begin{align*} w = \mu(z) = \frac{bz-1}{2(z+b)} \end{align*}$

geleistet. Dann kommt in 3. noch der Satz des Pythagoras dazu:

$\begin{align*} f(z) = w + \sqrt{1+w^2} = \mu(z) + \sqrt{1 + \left( \mu(z) \right)^2} \end{align*}$

Nach den Voraussetzungen ist der Radikand stets eine positive reelle Zahl. Das Wurzelzeichen steht für die positive reelle Quadratwurzel.

Daß $\begin{align*} f(z)=z \end{align*}$ nur für $\begin{align*} z = b^{\frac{1}{3}} \end{align*}$ gilt, kann man leicht nachrechnen.

Nun definiert man, mit einem $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ auf dem rechten Halbkreis beginnend, rekursiv eine Folge $\begin{align*} \left( z_n \right) \end{align*}$ durch

$\begin{align*} z_{n+1} = f(z_n) \, , \ \ n \geq 0 \end{align*}$

Die Folge konvergiert gegen den Fixpunkt von $\begin{align*} f \end{align*}$ , die dritte Wurzel von $\begin{align*} b \end{align*}$ :

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} z_n = b^{\frac{1}{3}} \end{align*}$

[attach]53647[/attach]

Hier einmal ein Beispiel. Ich nehme $\begin{align*} b = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{3}} \end{align*}$ und starte mit $\begin{align*} z_0 = 1 \end{align*}$ . Mein CAS sagt:

$\begin{align*} z_0=1{,}00000000000000000 \end{align*}$
$\begin{align*} z_1=0{,}95742710775633810+0{,}28867513459481287 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_2=0{,}94258128476030745+0{,}33397682796806166 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_3=0{,}94013276077031804+0{,}34080843904806707 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_4=0{,}93975903851500275+0{,}34183760695593091 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_5=0{,}93970262880382494+0{,}34199264527059769 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_6=0{,}93969412849457401+0{,}34201600090174589 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_7=0{,}93969284791487462+0{,}34201951929331781 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_8=0{,}93969265500161137+0{,}34202004931878238 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_9=0{,}93969262594030811+0{,}34202012916407165 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{10}=0{,}93969262156238909+0{,}34202014119230556 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{11}=0{,}93969262090288075+0{,}34202014300428984 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{12}=0{,}93969262080352967+0{,}34202014327725483 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{13}=0{,}93969262078856297+0{,}34202014331837538 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{14}=0{,}93969262078630833+0{,}34202014332456998 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{15}=0{,}93969262078596871+0{,}34202014332550318 \operatorname{i} \end{align*}$

Beispielrechnungen zeigen, daß die Sache auch funktioniert, wenn man nicht mit einem $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ auf dem Einheitskreis startet. In der Definition von $\begin{align*} f \end{align*}$ muß man dann mit der komplexen Wurzel arbeiten. Die Punkte $\begin{align*} z_n \end{align*}$ liegen jetzt nicht mehr auf dem Einheitskreis, die Folge konvergiert dennoch gegen $\begin{align*} b^{\frac{1}{3}} \end{align*}$ . Auch der Parameter $\begin{align*} b \end{align*}$ braucht nicht auf dem Einheitskreis zu liegen. Die Folge konvergiert gegen seine komplexe dritte Wurzel. Die genaueren Randbedingungen wie geeignete Wurzelzweige oder Konvergenz beziehungsweise Divergenz je nach Startwert wären noch zu untersuchen.

18.09.2021, 17:37

HAL 9000

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Da quadrierer die schnelle Konvergenz zuletzt so in den Vordergrund gerückt hat: Kannst du was zur Konvergenzordnung dieses Verfahrens sagen? Das Geometrische Halbierungsverfahren hat ja nur Ordnung 1, aber mit einer vergleichweise naheliegenden Idee basieren auf iterativer Sehnendrittelung erreicht man ja auch schnell ein Verfahren der doch schon recht ansehnlichen Ordnung 3. Deswegen wäre es interessant, wo man das von dir beschriebene Verfahren diesbezüglich verorten kann.

20.09.2021, 07:24

Leopold

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$\begin{align*} z_0=1{,}00000000000000000 \end{align*}$
$\begin{align*} z_1= \color{red} 0{,}9 \color{black} 5742710775633810+ \color{red} 0 \color{black} {,}28867513459481287 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_2= \color{red} 0{,}9 \color{black} 4258128476030745+ \color{red} 0{,}3\color{black}3397682796806166 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_3= \color{red} 0{,}9 \color{black} 4013276077031804+\color{red}0{,}34\color{black}080843904806707 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_4= \color{red} 0{,}939 \color{black} 75903851500275+\color{red} 0{,}34\color{black}183760695593091 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_5= \color{red} 0{,}939 \color{black} 70262880382494+ \color{red}0{,}34\color{black}199264527059769 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_6= \color{red} 0{,}93969 \color{black} 412849457401+ \color{red}0{,}3420\color{black}1600090174589 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_7= \color{red} 0{,}939692 \color{black} 84791487462+ \color{red}0{,}3420\color{black}1951929331781 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_8= \color{red} 0{,}9396926 \color{black} 5500161137+ \color{red}0{,}342020\color{black}04931878238 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_9= \color{red} 0{,}93969262 \color{black} 594030811+ \color{red}0{,}3420201\color{black}2916407165 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{10}= \color{red} 0{,}93969262 \color{black} 156238909+ \color{red}0{,}34202014\color{black}119230556 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{11}= \color{red} 0{,}939692620 \color{black} 90288075+\color{red}0{,}342020143\color{black}00428984 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{12}= \color{red} 0{,}939692620 \color{black} 80352967+\color{red}0{,}342020143\color{black}27725483 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{13}= \color{red} 0{,}93969262078 \color{black} 856297+ \color{red}0{,}3420201433\color{black}1837538 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{14}= \color{red} 0{,}93969262078 \color{black} 630833+\color{red}0{,}34202014332\color{black}456998 \operatorname{i} \end{align*}$
$\begin{align*} z_{15}= \color{red} 0{,}9396926207859 \color{black} 6871+ \color{red}0{,}34202014332\color{black}550318 \operatorname{i} \end{align*}$

Im Beispiel legen die Daten

$\begin{align*} \left| z_n - \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{9}} \right| = O \left( 10^{-0{,}82n} \right) \end{align*}$

nahe.

20.09.2021, 08:24

HAL 9000

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Also auch nur lineare Konvergenz (Ordnung 1)? Da bin ich dann aber enttäuscht, ich hatte mehr erwartet.

-----------------------------------------------------------------

Es gibt ein ziemlich einfaches Verfahren, welches Konvergenzordnung 3 erreicht. Ich entschuldige mich schon mal vorab dafür, dass ich den Namen dieses Verfahrens (welches bestimmt schon jemand anderes vor mir vorgestellt hat) nicht kenne, aber ich bin weder Experte auf diesem Gebiet noch habe ich eine Literaturrecherche durchgeführt, da die m.E. länger gedauert hätte, als das für mich nochmal neu nachzuerfinden - ich beabsichtige schließlich auch keine Veröffentlichung, wo ich das als meine originäre Erfindung ausweise. Augenzwinkern

Nun zum Verfahren: Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der zu drittelnde Winkel, wir beschränken uns auf $\begin{eqnarray*} 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , also spitze Winkel (größere Winkel darauf zu reduzieren, ist kein ernstliches Problem).

Wir starten mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0 := \alpha \end{eqnarray*}$ . In Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ betrachten wir einen Kreissektor zum Winkel $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{n-1} \end{eqnarray*}$ , und dritteln die zugehörige Sektorsehne. Der Sektorwinkel von einem der beiden Außensektoren von den drei entstehenden Teilsektoren sei mit $\begin{eqnarray*} \varphi_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Außerdem konstruieren wir daraus $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n = \varepsilon_{n-1}-3\varphi_n \end{eqnarray*}$ .

Wir stellen fest, dass bei dieser Konstruktion stets $\begin{eqnarray*} 0 < \varphi_n < \frac{\varepsilon_{n-1}}{3} \end{eqnarray*}$ gilt und nehmen als Drittelungs-Näherungswinkel $\begin{eqnarray*} \beta_n:=\sum_{k=1}^n \varphi_k \end{eqnarray*}$ . Einfache Winkelbetrachtungen ergeben dann $\begin{eqnarray*} \beta_n = \frac{\alpha-\varepsilon_n}{3} \end{eqnarray*}$ .

Nachweisen müssen wir $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , wobei die Konvergenzgeschwindigkeit von besonderem Interesse ist.

Eine einfache Skizze zeigt, dass $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n = f\left(\varepsilon_{n-1}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) := 3\arctan\left(\frac{1}{3}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Nun ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3}{27} + O\left(x^5\right) \end{eqnarray*}$ , bzw. mit Taylorrestglied kann man genauer abschätzen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{27} < f(x) < \frac{x^3}{20} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left(\varepsilon_n\right)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge der Konvergenzordnung 3 ist.

Nehmen wir als Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \alpha=1.5 \end{eqnarray*}$ (also knapp unterhalb eines rechten Winkels):

$\begin{eqnarray*} \beta_1 = 0.44890890600568103 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_2 = 0.49995545845237691 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_3 = 0.49999999999997105 \end{eqnarray*}$

Nach Schritt 2 gibt es keine optisch wahrnehmbare Änderung mehr in der Zeichnung.

[attach]53682[/attach]

(Im Bild wurde - entgegen der Forderung oben - dann doch $\begin{eqnarray*} \alpha > \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gewählt, damit man $\begin{eqnarray*} \varepsilon_2=\left|\angle A_2MB_2\right| \end{eqnarray*}$ überhaupt noch als Nichtnull-Winkel wahrnehmen kann.)

Und nehmen wir als zweites Beispiel mal noch $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ von Leopold, und zwar auf 56 Nachkommastellen genau. Ja, klingt übertrieben, muss aber sein um Konvergenzordnung 3 deutlich zu machen:

$\begin{eqnarray*} \alpha = 1.04719755119659774615421446109316762806572313312503527366 \end{eqnarray*}$ mit gewünschten Drittelungsergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{3}=0.34906585039886591538473815369772254268857437770834509122 \end{eqnarray*}$ .

Das obige Verfahren liefert nun

$\begin{eqnarray*} \beta_1 = {\color{red}0.3}3347317225183211533609075535160107006590038984799098264 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_2 = {\color{red}0.34906}458647740423121055061517368622959952861210943536999 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_3 = {\color{red}0.34906585039886591}471170104492009639240344174069292407291 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_4 = {\color{red}0.349065850398865915384738153697722542688574377708345091}12 \end{eqnarray*}$

D,h., einmal in Schwung verdreifacht sich die gültige Stellenzahl mit jedem Schritt. Da kommt man natürlich sehr schnell in den subatomaren Bereich. Big Laugh

22.09.2021, 08:58

quadrierer

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@ Leopold
Danke für das etwas andere beweisende Nachrechnen. Gezeigt wird dabei für das besonderen Beispiel 60°, der betrachtete, mit nur endlich vielen Schritten dargestellte Grenzprozess leistet mit einer klassisch konstruierten Sequenz, die nur Kreise und Geraden bzw. Zirkel und Lineal umfasst, ein „Winkeldritteln, das exakt und nicht nur genähert dem Grenzpunkt=Winkeldrittel zustrebt und dieses gedanklich durch logische Schlüsse auch erreicht. Diese Betrachtungsweise knüpft an der der Mathematik für Zahlen an, bei der das Ergebnis 0,3... eines endlosen Prozesses gedanklich den Grenzwert 1/3 auch erreicht und deshalb heute 0,3...=1/3 und 0,9 ... =1 gelehrt wird.

@HAL9000
Bei Leopolds Nachrechnung des exakten Konvergierens ist meine hinzugefügte Massnahme (zweites Bild) zur Verbesserung der Konvergenz noch unberücksichtigt. Für den Nachweis, dass das besagte Verfahren auch ein exaktes Zustreben zum Grenzpunkt/Grenzwert leistet, wird diese Massnahme nicht gebraucht. Dein Einwand zur enttäuschend schwachen Konvergenz geht daher für die Betrachtung von Leopold etwas ins Leere und damit auch für meine hinzugefügten, die Konvergenz verbessernden Prozessschritte (siehe Bild vom vergrösserten Bereich des Grenzpunktes).

Um dein Bild zum Winkeldritteln verstehen zu können, wünsche ich mir noch mehr beschreibende Erklärung. So kann ich mir nicht vorstellen wie in deinem Bild zu $\begin{eqnarray*} Beta_3 \end{eqnarray*}$ gelangt wird und wo es dort platziert ist?

Mir fehlt das Wissen zu den von dir angesprochenen Konvergenzordnungen. Kannst die Einordnungskriterien vielleicht kurz erklären?

22.09.2021, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
Bei Leopolds Nachrechnung des exakten Konvergierens ist meine hinzugefügte Massnahme (zweites Bild) zur Verbesserung der Konvergenz noch unberücksichtigt.

Soweit ich das verstanden habe, hat Leopold diese deine Konstruktionsbeschreibung analysiert. Mir ist jetzt nicht gegenwärtig, dass es danach noch eine substanzielle Änderung gegeben hat, jedenfalls keine mit Konstruktionsbeschreibung von dir. Bisher also nur ein leeres Versprechen von einer besseren Konvergenzgeschwindigkeit - ich nehm das erst für bare Münze, wenn eine Konstruktionsbeschreibung inklusive zugehöriger Kalkulation der Konvergenzgeschwindigkeit erfolgt.

Zitat:

Original von quadrierer
Um dein Bild zum Winkeldritteln verstehen zu können, wünsche ich mir noch mehr beschreibende Erklärung.

Konstruktionsbeschreibung: Wir starten mit einem Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und dort einem Winkel $\begin{eqnarray*} \left|\angle A_0MB_0\right| = \alpha \end{eqnarray*}$ .

Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} n=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ ) des Verfahrens besteht aus folgenden Teilschritten:

Wir dritteln die Sehne $\begin{eqnarray*} A_{n-1}B_{n-1} \end{eqnarray*}$ , und die Strahlen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ durch die beiden inneren Drittelungspunkte mögen Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ (näher an $\begin{eqnarray*} B_{n-1} \end{eqnarray*}$ )
sowie $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ (näher an $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ ) schneiden. Der von $\begin{eqnarray*} B_{n-1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Schnittpunkt des Kreises um $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \left|C_nB_{n-1}\right| \end{eqnarray*}$ (oben gestrichelt dargestellt) mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sei dann $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ .

Letztendlich verkörpert diese Konstruktion obiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n = \left|\angle A_nMB_n\right| \end{eqnarray*}$ , zudem ist der jeweilige Drittel-Näherungswinkel $\begin{eqnarray*} \beta_n = \left|\angle A_0MA_n\right| \end{eqnarray*}$ direkt der Skizze entnehmbar.

Zitat:

Original von quadrierer
Mir fehlt das Wissen zu den von dir angesprochenen Konvergenzordnungen. Kannst die Einordnungskriterien vielleicht kurz erklären?

Nein, das erarbeitest du dir selbst über die Stichworte "Konvergenzordnung" und "Konvergenzgeschwindigkeit", schon Wiki gibt eine brauchbare Einführung. Das musst du dann schon tun, da du selbst das Fass aufgemacht hast mit

Zitat:

Original von quadrierer
Fialkowski hat seinem Verfahren wegen dessen schwacher Konvergenz keine grosse praktische Bedeutung zugesprochen.

22.09.2021, 21:24

quadrierer

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@HAL9000
Ich hoffe, dass ich dank deiner Beschreibung deine Konstruktion nun kapiert habe, was ich mit dem folgende Bild beweisen will.
[attach]53700[/attach]
Deiner Konstruktion liegt folgende allgemein gültige Verfahrensidee zugrunde:
Der zu drittelnde Winkel wird mit einem mehrstufigem Verfahren, von Zyklus zu Zyklus immer genauer gedrittelt.

1.Zyklus:
Mit einem beliebigen Näherungsverfahren wird der zu drittelnde Winkel zu einem 1. Näherungswinkel gedrittelt, der dann zu einem 1. Dreifachwinkel verdreifacht wird. Mit diesem wird dann die 1. Winkel-Abweichung erzeugt, die dann mit einen Näherungsverfahren (meist dem gleichen Verfahren wie vorher) zum 1. Korrekturwinkel gedrittelt wird. Dieser 1. Korrekturwinkel wird dem 1. Näherungswinkel zuaddiert, womit der 2. Näherungswinkel erzeugt ist.

2.Zyklus:
Der 2. Näherungswinkel wird zum 2. Dreifachwinkel verdreifacht. Mit diesem wird dann die 2. Winkel-Abweichung erzeugt. Diese wird mit einem Näherungsverfahren (meist dem gleichen Verfahren wie vorher) zum 2. Korrekturwinkel gedrittelt. Diese 2. Korrekturwinkel wird dem 2. Näherungswinkel zuaddiert, womit der 3. Näherungswinkel erzeugt ist..

3.Zyklus:
Der 3. Näherungswinkel wird zum 3. Dreifachwinkel verdreifacht und Mit diesem wird dann die 3. Winkel-Abweichung erzeugt. Diese wird mit einem Näherungsverfahren (meist dem gleichen Verfahren wie vorher) zum 3. Korrekturwinkel gedrittelt. Dieser 3. Korrekturwinkel wird dem 3. Näherungswinkel zuaddiert, womit der 4. Näherungswinkel erzeugt ist..
usw.

Alle auf diese Weise erzeugten Folgen von Näherungswinkeln streben exakt und nicht nur genähert dem Winkeldrittel zu.[/quote]

[/quote]Original von HAL 9000
Soweit ich das verstanden habe, hat Leopold diese deine Konstruktionsbeschreibung analysiert. Mir ist jetzt nicht gegenwärtig, dass es danach noch eine substanzielle Änderung gegeben hat, jedenfalls keine mit Konstruktionsbeschreibung von dir.[/quote]

Hier kann ich mich nur wiederholen. Leopolds Betrachtungen sind auf die Grundidee meiner Konstruktion gerichtet. Ehe man die Konvergenz verbessern will, muss man sicher sein, dass das betrachtete Verfahren auch wie gedacht konvergiert. Bei der oben beschriebenen Grundidee für das Winkeldritteln ist sicher gestellt, das die darauf beruhenden Verfahren konvergieren. Mein Lösungszusammenhang geht nicht von der Zahl 3 aus und so gibt es in der Lösungssequenz keine Verdreifachungen zum Ermitteln von Winkelabweichungen usw. und damit auch kein daraus sicher hergeleitetes Konvergieren.

[/quote]Original von HAL 9000
Bisher also nur ein leeres Versprechen von einer besseren Konvergenzgeschwindigkeit - ich nehm das erst für bare Münze, wenn eine Konstruktionsbeschreibung inklusive zugehöriger Kalkulation der Konvergenzgeschwindigkeit erfolgt..[/quote]
[/latex]
Hier biete ich folgendes kombiniertes Verfahren an:
[attach]53701[/attach]
Beim rechten Verfahren liegt der Grenzpunkt, dem zugestrebt wird, auf der der X-Achse. Der aktuelle Ergebnispunkt auf der X-Achse ist der Schnittpunkt eines Kreises durch die 3 letzen vom Grenzprozess erzeugten Folge-Punkte.
Beim Verfahren, welches das Bild meines 1. Beitrages zeigt, liegt der Grenzpunkt, dem zugestrebt wird, auf dem Kreis.
Das linke Bild mit der 1/3-Reihe zeigt eine Konvergenverbesserung durch Mittelung mit der dicken blauen Strecke.

23.09.2021, 05:37

HAL 9000

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Du hast von mir eine Konstruktionsbeschreibung gefordert, weil dir die Skizze allein nicht gereicht hast. Ich handhabe das jetzt ebenso: Also bitte den exakten Ablauf der Konstruktion darlegen, d.h., dass man den zeitlichen Ablauf auch genau nachvollziehen kann - das ist aus der fertigen Skizze meist nur schwer möglich und mit viel Raterei verbunden. Für einfache offensichtliche Hilfskonstruktionen, wie Strecken- bzw. Winkel-Übertragungen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierungen, (ganzzahlige) Streckenteilungen u.ä. musst du natürlich nicht die Detailschritte anführen.

Zudem sehe ich in deinem letzten Beitrag erneut nur qualitative Behauptungen wie "mit verbesserter Konvergenz", die nicht quantitativ untersetzt sind.

23.09.2021, 16:04

RavenOnJ

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Beim opening tag für "quote" musst du den slash weglassen, damit das Zitat auch richtig gerendert wird.

Also

Zitat:

Original von HAL 9000
Soweit ich das verstanden habe, hat Leopold diese deine Konstruktionsbeschreibung analysiert. Mir ist jetzt nicht gegenwärtig, dass es danach noch eine substanzielle Änderung gegeben hat, jedenfalls keine mit Konstruktionsbeschreibung von dir.

Usw

24.09.2021, 16:58

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Also bitte den exakten Ablauf der Konstruktion darlegen, d.h., dass man den zeitlichen Ablauf auch genau nachvollziehen kann - das ist aus der fertigen Skizze meist nur schwer möglich und mit viel Raterei verbunden. Für einfache offensichtliche Hilfskonstruktionen, wie Strecken- bzw. Winkel-Übertragungen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierungen, (ganzzahlige) Streckenteilungen u.ä. musst du natürlich nicht die Detailschritte anführen.

Zudem sehe ich in deinem letzten Beitrag erneut nur qualitative Behauptungen wie "mit verbesserter Konvergenz", die nicht quantitativ untersetzt sind.

Ich versuche deine Anfragen zuerst mit 3 Bildern zu beantworte. Dazu folgt dann noch der Konstruktionsplan / -Beschreibung für mein Winkeldritteln mit einem schnell konvergierendem Grenzprozess.
Vorbemerkungen:
Die Sequenz der Konstruktion geht aus an den erzeugten Objekten angebrachten laufenden Nummern hervor. Damit die Zuordnung bei nahe beieinander liegenden Objekten eindeutig bleibt, werden den Nummern noch Buchstaben hinzugefügt. Mit $\begin{eqnarray*} k_{2} \end{eqnarray*}$ wird ein Kreis gekennzeichnet , der als das 2. Objekt gezeichnet ist. Mit $\begin{eqnarray*} g_{4} \end{eqnarray*}$ wird eine Gerade als 4. gezeichnetes Objekt, gekennzeichnet und mit $\begin{eqnarray*} S_{4}(k_{1};g_{4}) \end{eqnarray*}$ ein Schnittpunkt von Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ und Gerade $\begin{eqnarray*} g_{4} \end{eqnarray*}$ . bzw. $\begin{eqnarray*} S_{4.1}(k_{3};g_{4}) \end{eqnarray*}$ ein Schnittpunkt von Kreis $\begin{eqnarray*} k_{3} \end{eqnarray*}$ und Gerade $\begin{eqnarray*} g_{4}. \end{eqnarray*}$
[attach]53713[/attach]
[attach]53714[/attach]
[attach]53712[/attach]

Konstruktionsplan und -Beschreibung für mein Winkeldritteln mit einem schnell konvergierendem Grenzprozess

[attach]53710[/attach]
[attach]53711[/attach]

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Klassisch konstruierter Grenzprozess?

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