Klassisch konstruierter Grenzprozess? - Seite 2

24.09.2021, 17:39

Leopold

Ich weiß jetzt nicht, warum du wieder mit dieser völlig undurchsichtigen Zeichnung kommst. Hier steht doch schon längst, wie es geht:

$\begin{align*} z_0 \longrightarrow 2 w_0 \longrightarrow w_0 \longrightarrow z_1 \longrightarrow 2w_1 \longrightarrow w_1 \longrightarrow z_2 \longrightarrow 2w_2 \longrightarrow w_2 \longrightarrow z_3 \longrightarrow \ldots \end{align*}$

Die Konstruktion ist in Worten beschrieben und der Zeichnung zu entnehmen.

Zitat:

Original von Leopold
1. Man zeichnet die Gerade durch $\begin{align*} z \end{align*}$ und $\begin{align*} - \frac{1}{b} \end{align*}$ (das ist das Bild von $\begin{align*} b \end{align*}$ bei Spiegelung an der imaginären Achse). Ihr Schnitt mit der imaginären Achse sei $\begin{align*} 2w \end{align*}$ .

2. Jetzt wird der Mittelpunkt $\begin{align*} w \end{align*}$ zwischen 0 und $\begin{align*} 2w \end{align*}$ bestimmt.

3. Schließlich wird $\begin{align*} w \end{align*}$ parallel zur reellen Achse nach rechts auf den Einheitskreis projiziert. Der Projektionspunkt ist $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ .

[attach]53647[/attach]

$\begin{align*} z_{n+1} = f(z_n) \end{align*}$

Oder liegt hier eine neue Konstruktion vor? Dann versuche einmal, das in wenigen Schritten wie meine 1., 2., 3. zu beschreiben. Alles andere ist nicht zu gebrauchen.

28.09.2021, 11:25

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Ich weiß jetzt nicht, warum du wieder mit dieser völlig undurchsichtigen Zeichnung kommst. Hier steht doch schon längst, wie es geht:

Ja richtig. Aber noch ohne meine Massnahme für eine verbesserte Konvergenz, nach der HAL fragt.

Zitat:

Original von HAL 9000
Da quadrierer die schnelle Konvergenz zuletzt so in den Vordergrund gerückt hat: Kannst du was zur Konvergenzordnung dieses Verfahrens sagen?

Meine Verbesserung der Konvergenz geht als Prinzip bereits aus meinen ersten Bildern im Beitrag vom 29.06.20021 bzw. 05.08.2021 hervor:
[attach]53239[/attach]
und
[attach]53240[/attach]
Die Bilder zeigen deutlich, nicht nur die Folge der Punkte H, L, P, S .... (Grundverfahren) konvergiert zum Grenzpunkt auf der Kreislinie von $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ , sondern auch die Folge der Punkte K, O, R, ..... konvergiert zum Grenzpunkt auf der Kreislinie von $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ und weist dabei eine bessere Konvergenz auf. Diese wird genutzt. Im Ergebnisgebiet wird durch die jeweils drei letzten Punkte der Folge K, O, R, ... der rot gestrichelte Kreis gezeichnet, der den Trendverlauf seiner Punkte-Folge K, O, R, ... fortsetzt und den Kreis $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ schneidet und nun näher am Grenzpunkt liegt, als der bis dahin letzte gezeichnete Punkt der Punkte-Folge H, L, P, S, ... .

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Geometrische Halbierungsverfahren hat ja nur Ordnung 1, aber mit einer vergleichsweise naheliegenden Idee basieren auf iterativer Sehnendrittelung erreicht man ja auch schnell ein Verfahren der doch schon recht ansehnlichen Ordnung 3. Deswegen wäre es interessant, wo man das von dir beschriebene Verfahren diesbezüglich verorten kann.

Beim von HAL9000 vorgenommenen Vergleich der Konvergenz seines hier eingebrachten „feed back“- Verfahrens mit deinem Grenzprozess vom 20.09.2021 steht er, wenn man mal von den mehr Hilfsschritten bei ihm absieht, mit seinem Grenzprozess-Verfahren (Beitrag vom ....) sogar ziemlich gut da.

Mit der folgenden Konstruktion zeige ich, wie deine beschriebene Konstruktion mit meinen hinzugefügten Massnahmen zu stärkerer Konvergenz gelangt.
[attach]53730[/attach]
Bei etwa gleichem Aufwand steigt durch die verbesserte Konvergenz die Anzahl der wahren Nachkommaziffern von 2 auf 6 und ist damit auch besser als bei HAL9000.

28.09.2021, 11:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer
wenn man mal von den mehr Hilfsschritten bei ihm absieht

Das beziehst du womöglich auf die nicht im Detail dargestellte Hilfskonstruktion einer Streckendrittelung. Ansonsten empfinde ich die Beschreibung

Zitat:

Original von HAL 9000
Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} n=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ ) des Verfahrens besteht aus folgenden Teilschritten:

Wir dritteln die Sehne $\begin{eqnarray*} A_{n-1}B_{n-1} \end{eqnarray*}$ , und die Strahlen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ durch die beiden inneren Drittelungspunkte mögen Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ (näher an $\begin{eqnarray*} B_{n-1} \end{eqnarray*}$ )
sowie $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ (näher an $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ ) schneiden. Der von $\begin{eqnarray*} B_{n-1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Schnittpunkt des Kreises um $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \left|C_nB_{n-1}\right| \end{eqnarray*}$ (oben gestrichelt dargestellt) mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sei dann $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ .

eine Verfahrensschrittes als präzise, mit genauer Benennung der konstruierten Punkte, und insgesamt auch ziemlich kurz. Ähnliches vermisse ich bis jetzt bei dir - wenn es bei dir kürzer geht, dann müsste das ja auch sehr schnell darlegbar sein, verwirrt

Zitat:

Original von quadrierer
und ist damit auch besser als bei HAL9000.

Das Verfahren ist erst dann als besser zu bezeichnen, wenn du zumindest eine Konvergenzordnung $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$ dafür beweist. Ansonsten ist es nur eine der üblichen unbegründeten quadrierer- Aufschneidereien.

Ich erwarte nicht mehr und nicht weniger als auch eine theoretische Betrachtung, aus der man die Konvergenzordnung ablesen kann, ähnlich wie ich es oben mit dem

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_n = \frac{\varepsilon_{n-1}^3}{27} + O\left(\varepsilon_{n-1}^5\right) \end{eqnarray*}$

getan habe. D.h., ich möchte deutlich dargelegt haben, wieso dein modifiziertes Verfahren den Sprung von Konvergenzordnung 1 (in dem von Leopold für die Masse erklärten ersten Verfahren von dir) nun plötzlich auf 3 oder mehr haben soll. Ich werde den Teufel tun und mich durch deine verwirrenden Beschreibungen zu rätseln, denn klare Konstruktionsbeschreibungen kriegst du ja immer noch nicht gebacken. Vielleicht erbarmt sich Leopold, aber die Ferien sind wohl doch vorbei, und es ist ja immer eine Horrorarbeit, deine Darlegungen ins Verständliche zu übersetzen.

28.09.2021, 13:12

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
... aber die Ferien sind wohl doch vorbei ...

Die nächsten Sommerferien beginnen erst wieder Ende Juli 2022. traurig

Bis dahin äußere ich mich auf MatheBoard nur zu klar formulierten oder den Willen zu klarer Formulierung erkennen lassenden verständlichen Anliegen jeglicher Art, sofern ich mich in der Thematik auskenne. Daher bitte ich noch um ein wenig (mindestens 1 Jahr) Geduld.

Mir gefällt das Winkeldrittelungsverfahren von quadrierer, auch wenn einen die Konvergenzordnung nicht gerade vom Hocker reißt. Aber es gibt ja auch andere Formen der Ästhetik als bloß die numerischen. Ich denke an die Leibnizsche Reihe:

$\begin{align*} \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} +- \ldots = \frac{\pi}{4} \end{align*}$

Zur numerischen Berechnung von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ taugt diese Reihe in ihrer Urform kaum. Dennoch ist ist von bestechender Klarheit und Schönheit. Und wie alle ästhetischen Urteile ist auch dieses sehr subjektiv.

28.09.2021, 13:40

HAL 9000

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Ästhetik steht auf einem anderen Blatt. quadrierer hat oben die lahme Konvergenz des Halbierungsverfahren kritisiert (womit er auch recht hatte). Sein von dir analysiertes erstes Verfahren ist in der Hinsicht aber auch nicht viel besser, auch nur lineare Konvergenz. Und nun hat er sich soweit prahlend aus dem Fenster gelehnt, dass sein modifiziertes Verfahren "besser ist" als das von mir oben vorgestellte, was ich nicht anders deuten kann als dass Konvergenzordnung 3 zumindest erreicht wird - und das will ich jetzt bewiesen sehen. smile

04.10.2021, 16:32

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und nun hat er sich soweit prahlend aus dem Fenster gelehnt, dass sein modifiziertes Verfahren "besser ist" als das von mir oben vorgestellte, was ich nicht anders deuten kann als dass Konvergenzordnung 3 zumindest erreicht wird - und das will ich jetzt bewiesen sehen. smile

Mein folgender Vergleich schaut auf die Konvergenz- Situation (Ergebnisgenauigkeit) bei den konstruierten Zwischenergebnissen, was etwa nach ähnlich viel gezeichneten Objekten von Kreis und Gerade stattfindet.

Ein erster Vergleich der zwei Ergebnisgenauigkeiten findet nach jeweils 9 Schrittten bzw. gezeichneten Objekten statt, der zweite Vergleich nach 15 Quadrierer-Schritten und 18 HAL-Schritten. Das HAL-Verfahren ist fortan mit 2 Kreis- und 3 Gerade-Objekten je weiterem Zyklus bis zum nächsten Zwischenergebnis aufwendiger als das Quadrierer-Verfahren mit 1 Kreis- und 2 Gerade-Objekten.

Fehlergrösse zum theoretischen Drittelwinkel 20.000000000000000°

______________Quadrierer-Verfahren_______HAL-Verfahren

9 Schritte_________0,000067°_________________2,86°

15/18 Schritte____< 0,00000000000000099°______0,00014°

Die Einzelheiten gehen aus den zugehörigen Bildern und Konstruktionsplänen hervor, in denen die Sequenz der nacheinander zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte beschrieben ist.

[attach]53751[/attach]
[attach]53752[/attach]
[attach]53753[/attach]
[attach]53755[/attach]

04.10.2021, 18:02

HAL 9000

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Ich versuche mal, die hier beschriebene Konstruktionsbeschreibung zu entschlacken, vielleicht wird dann klar, was gemeint ist. Bis denn...

So, fertig:

Begonnen wird mit einem XY-Koordinatensystem mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sowie einem Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Auf $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (auf der X-Achse) sowie $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (irgendwo im ersten Quadranten), und dieser Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi = \left|\angle AMB\right| \end{eqnarray*}$ ist es, den du dritteln willst.

Start: Die Parallele zur X-Achse durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ möge die Y-Achse im Punkt $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ schneiden. Das ist deterministischer als deine ominöse "frei gewählte 1/3-Drehung" usw.

Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ des Verfahrens besteht darin:

a) Zeichne Kreis $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} 2r \end{eqnarray*}$ .
b) Kreis $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ schneidet die negative X-Achse im Punkt $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ .
c) Die Strecke $\begin{eqnarray*} BV_n \end{eqnarray*}$ schneidet die Y-Achse im Punkt $\begin{eqnarray*} U_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist deine Behauptung, dass die Winkelfolge $\begin{eqnarray*} \varphi_n = \left|\angle AV_n B\right| \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi}{3} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und das schneller als mit meinem Verfahren oben.

Rechnerisch ist $\begin{eqnarray*} \tan(\varphi_n) = \frac{r\sin(\varphi)}{r\cos(\varphi) - x_n} \end{eqnarray*}$ mit x-Koordinate $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ vom Punkt $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} x_n = r\cos(\varphi) - \frac{r\sin(\varphi)}{\tan(\varphi_n)} \end{eqnarray*}$

Die y-Koordinate von $\begin{eqnarray*} U_{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann gemäß

$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = r\sin(\varphi)\cdot \frac{-x_n}{r\cos(\varphi) - x_n} = r\sin(\varphi) - r\cos(\varphi)\tan(\varphi_n) \end{eqnarray*}$

Und daraus bekommt man dann den Winkel des nächsten Iterationsschritts über

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = -\sqrt{4r^2- y_{n+1}^2} = -r\sqrt{4- \left(\sin(\varphi) - \cos(\varphi)\tan(\varphi_n)\right)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(\varphi_{n+1}) = \frac{r\sin(\varphi)}{r\cos(\varphi) - x_{n+1}} = \frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi) + \sqrt{4- \left(\sin(\varphi) - \cos(\varphi)\tan(\varphi_n)\right)^2}} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir - ähnlich wie oben - hier mal $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n = \varphi_n-\frac{\varphi}{3} \end{eqnarray*}$ um mal zu sehen, wie schnell die Konvergenz wirklich ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{n+1} = g\left(\varepsilon_n\right) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = \arctan\left(\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi) + \sqrt{4- \left(\sin(\varphi) - \cos(\varphi)\tan\left(x+\frac{\varphi}{3}\right)\right)^2}}\right) - \frac{\varphi}{3} \end{eqnarray*}$

(kann man vielleicht noch vereinfachen). Mal sehen, was die Potenzreihenentwicklung sagt, die muss ich mal dem CAS überlassen: Für $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{3}=60^{\circ} \end{eqnarray*}$ wird da ermittelt

$\begin{eqnarray*} g(x)\approx -0.02784x-0.00504x^2 + O(x^3) \end{eqnarray*}$ ,

also lediglich lineare Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (\varphi_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi}{3}=20^{\circ} \end{eqnarray*}$ , genauso wie beim ersten (von Leopold analysierten) quadrierer-Verfahren. Der Faktor 0.02784 ist nicht übel, man gewinnt also reichlich 1,5 Dezimalstellen pro Verfahrensschritt. Die angeblich schnellere Konvergenz gegenüber meinem Verfahren mit Konvergenzordnung 3 entpuppt sich aber als quadrierer-Windei:

Konvergenzgeschwindigkeit entscheidet sich auf der Langstrecke, nicht auf der kurzen Sprintdistanz. Du hast schon sehr genau gewusst, warum du nach Verfahrensschritt 2 bei meinem Verfahren oben im Vergleich aufgehört hast - weil nämlich in Schritt 3 der Langstreckler dort den Turbo zündet und dem Sprinter (relativ) die Luft ausgeht. Augenzwinkern

05.10.2021, 21:49

quadrierer

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Ich erkenne, dein Betrachten, deine Nachrechnung bezieht sich nicht auf meinen gelieferten Vergleich vom 4.10.2021. Warum betrachtest du nur mein Grundverfahren und nicht auch meine hinzugefügten Massnahmen für eine verbesserte Konvergenz, wie sie auch in meinen Vergleich eingeflossen sind?

Mein gelieferter Vergleich vom 4.10.2021 bezieht sich auf die extra dafür gezeichneten Konstruktionen HAL-WDT-000.pdf für das HAL-Verfahren und qua-WDT-000-1.pdf sowie Qua-WDT-000-2g.pdf für das in der Konvergenz verbesserte Quadrierer-Verfahren. In beiden Fällen werden 60° gedrittelt, wobei quasi mit gleichen Randbedingungen gestartet und dann auf die jeweils aktuell gezeichneten Objekte Kreis $\begin{eqnarray*} k_{i+1} \end{eqnarray*}$ und Gerade $\begin{eqnarray*} g_{i} \end{eqnarray*}$ geschaut wird. Die Folge der konstruierten Objekte ist durch die lfd. Schritt-Nr. angegeben. Jedes neu gezeichnete Objekt bestimmt den Fortgang der gezeichneten Sequenz durch einen, beispielsweise von der Geraden $\begin{eqnarray*} g_{3} \end{eqnarray*}$ und dem Kreis $\begin{eqnarray*} k_{7} \end{eqnarray*}$ erzeugten Schnittpunkt S( $\begin{eqnarray*} g_3:k_7) \end{eqnarray*}$ oder auch durch eine erzeugte Gerade-Lage, zu der dann Parallelen konstruiert werden können. Meine mitgelieferten Konstruktionspläne, (KonstruktionspläneL.pdf), beschreiben die auszuführenden Schritte umfassend und in aller Kürze.

Bei den gemessenen / berechneten Winkeln verlasse ich mich voll auf das Programm Geogebra 5 mit seiner Rechengenauigkeit.

Falls ich bei der Konstruktion zum HAL-Verfahren etwas falsch gemacht habe, zum Beispiel zu viele Schritte für das erste oder zweite Zwischenergebnis „Drittelwinkel“ verbraucht habe, dann teile mir das bitte mit, damit ich den Vergleich dann überarbeiten kann.

Ich sehe gerade deinen edit-Nachtrag.
Es wird sich auch auf der Langstrecke bei 15+ 3 +3 +3+ ... Schritten bei mir und bei 18+5+5+5+ ...5chritten bei dir wahrscheinlich nichts ändern. Wir sind dann Beide in subatomaren Gefilden.

06.10.2021, 05:14

HAL 9000

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Es gab ein Originalverfahren und dann das verbesserte von dir, welches du am 24.9.21 ja beschrieben hattest. Gibt es jetzt noch ein drittes?

Ich war davon ausgegangen, dass du im letzten Beitrag nur nochmal vergleichende Betrachtungen zu den beiden Verfahren angestellt hast. Naja, dann kannst du ja selber mal eine solche numerische Betrachtung anstellen, wie ich sie oben schon zweimal durchgeführt habe (einmal zu meinem Verfahren, jetzt zuletzt zu deinem zweiten Verfahren), um für dein nunmehr drittes Verfahren die Konvergenzordnung 3 (oder höher) nachzuweisen - ich bin jetzt langsam müde, ständig die Arbeit zu leisten, die du doch leisten müsstest.

Wie auch immer: Die am 28.9. geäußerte Prahlerei bezog sich ja eh auf das zweite Verfahren vom 24.9., und die hat sich als haltlos erwiesen. Ob es nun im dritten (oder vierten, fünften...) Anlauf gelingt, bleibt abzuwarten.

Zitat:

Original von quadrierer
Es wird sich auch auf der Langstrecke bei 15+ 3 +3 +3+ ... Schritten bei mir und bei 18+5+5+5+ ...5chritten bei dir wahrscheinlich nichts ändern.

Mit wahrscheinlich zu argumentieren hat Klasse. Ist natürlich viel wertvoller als meine obige Analyse der Konvergenzordnungen beider Verfahren. Deine Erbsen- äh Schrittzählerei ist übrigens belanglos, solange sich die Konvergenzordnungen der Verfahren derart unterscheiden.

Zitat:

Original von quadrierer
Wir sind dann Beide in subatomaren Gefilden.

Das ist nicht der Punkt, mit jedem konvergenten Verfahren kommt man dahin. Du hast dich anscheinend immer noch nicht zum Thema Konvergenzordnung informiert.

EDIT: Die dann doch im Beitrag vom 4.10. ganz unten im PDF-File versteckte Konstruktionsbeschreibung enthält leider einige Ungenauigkeiten (wie bei den letzten Beschreibungen von dir auch schon):

Punkt 1) Anscheinend darf nicht nur $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , sondern auch der Radius von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden - ist das so? Und es werden ZWEI Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erzeugt - welcher davon soll $\begin{eqnarray*} S(X;k_1) \end{eqnarray*}$ sein, kann man sich einen auswählen?

Punkt 3) Da ist von $\begin{eqnarray*} S(X;k_0) \end{eqnarray*}$ die Rede, da kann ich nur raten, dass nicht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sondern der andere Schnittpunkt mit der $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ -Achse gemeint ist?

$\begin{eqnarray*} S(k_0;B) \end{eqnarray*}$ ist gemäß deiner Terminologie ein Schnittpunkt zwischen Kreis $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ und Punkt (!) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ - wie bitte??? Wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ liegen sollte, dann ist einfach $\begin{eqnarray*} S(k_0;B)=B \end{eqnarray*}$ , andernfalls (du hast dich ja nicht zur Lage von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ geäußert) gibt es da gar keinen Schnittpunkt!

Punkt 4) Wieder das Problem: $\begin{eqnarray*} S(X;k_2) \end{eqnarray*}$ ist doppeldeutig.

Und so geht das weiter, ich breche hier ab.

Kurzum:

a) Überarbeite deine Konstruktionsbeschreibung, insbesondere in Hinblick darauf, dass Kreise mit Geraden oder anderen Kreise i.a. zwei Schnittpunkte haben, und aus der Konstruktionsbeschreibung klar hervorgehen sollte, welcher der beiden Schnittpunkte dann der angegebene Punkt sein soll. Andernfalls muss man davon ausgehen, dass es irgendeiner der zwei sein darf, und die Konstruktion auch mit einer derart freien Auswahl funktionieren soll. Merke: Eine begleitende Skizze zur Konstruktion ist keine schlechte Idee, aber die Konstruktionsbeschreibung muss auch ohne deren Hilfe autark funktionieren.

b) Es wäre wünschenswert, dass du den iterativen Kern der Konstruktion (d.h., die Sequenz der sich wiederholenden Elemente) klarer herausarbeitest. Das strafft auch die Darstellung, wie du anhand meiner oben dargestellten "entschlackten" Darlegung deines zweiten Verfahrens siehst. Zumal du es dem Leser schwer machst, und auch innerhalb der Iterationsschleife fortlaufend numerierst: So sind anscheinend $\begin{eqnarray*} g_9,g_{12},g_{15} \end{eqnarray*}$ Geraden vergleichbarer Bedeutung in aufeinander folgenden Iterationszyklen, genauso $\begin{eqnarray*} g_{11},g_{14} \end{eqnarray*}$ in anderer Bedeutung ... mehr Klarheit zum iterativen Aufbau ist angebracht.

06.10.2021, 17:05

quadrierer

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Zuerst, vielen Dank für deinen ausführlichen und auch konstruktiven Diskussionsbeitrag.

Mit den Doppeldeutigkeiten hast du ja recht. Ich dachte Konstruktion und Konstruktionsplan bilden eine Einheit, so dass zu sehen ist, was zutrifft. Richtig, besser ist es, die Schritte noch eindeutiger zu beschreiben.

Zitat:

Original von HAL 9000 Es gab ein Originalverfahren und dann das verbesserte von dir, welches du am 24.9.21 ja beschrieben hattest. Gibt es jetzt noch ein drittes?

Das ist nicht ganz richtig. Es gibt das Originalverfahren (Grundverfahren) mit zwei Ausprägungen.
1. Ausprägung (Bilder vom 29.06.2021)
Der Grenzpunkt auf dem Grundkreis $\begin{eqnarray*} k_{0} \end{eqnarray*}$ hat einen Abstand = |MA| vom Schnittpunkt, den die Strecke zwischen dem Grenzpunkt und Punkt B mit der Y-Achse erzeugt.
Leider wird mein zweites vergrössertes Bild vom Ergebnisbereich des Zwischen-Grenzpunktes [attach]53240[/attach] heute nicht mehr angezeigt. Das gleiche Schicksal teilt inzwischen auch das später von mir erneut hochgeladene Bild [attach]53446[/attach].

2. Ausprägung (Bilder vom 24.09.2021)
Der Grenzpunkt G auf der linken X-Achse X hat einen Abstand = 2*|MA| vom Schnittpunkt, den die Strecke zwischen dem Grenzpunkt G und Punkt B mit der Y-Achse erzeugt.
Auch hier werden die Bilder [attach]53713[/attach] und [attach]53714[/attach] leider nicht mehr angezeigt????.
Bei beiden Ausprägungen des Grundverfahrens umfasst der eigentliche Iterationszyklus immer nur einen von Punkt B ausgehenden Strahl $\begin{eqnarray*} g_{i} \end{eqnarray*}$ , der die Y-Achse im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(Y;g_{i}) \end{eqnarray*}$ schneidet und einen um diesen Punkt $\begin{eqnarray*} S(Y;g_{i}) \end{eqnarray*}$ gezogenen Kreis $\begin{eqnarray*} k_{i+1} \end{eqnarray*}$ mit Radius=(|MA|) oder Radius =2*|MA|, der den Strahl $\begin{eqnarray*} g_{i} \end{eqnarray*}$ im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(g_{i};k_{i+1}) \end{eqnarray*}$ und dann in positiver Drehrichtung den Kreis $\begin{eqnarray*} k_{0} \end{eqnarray*}$ im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(k_{o};k_{i+1}) \end{eqnarray*}$ oder die X-Achse im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(X;k_{i+1}) \end{eqnarray*}$ schneidet. Nach einem weiteren Zyklus mit $\begin{eqnarray*} g_{i+2} \end{eqnarray*}$ von B aus durch $\begin{eqnarray*} S(k_{o};k_{i+1}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S(X; k_{i+1}) \end{eqnarray*}$ werden mit einem $\begin{eqnarray*} k_{i+3} \end{eqnarray*}$ um die beiden $\begin{eqnarray*} S(Y; g_{i+2}) \end{eqnarray*}$ dann die nächsten Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} S(g_{i+2}; k_{i+3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k_{o}; k_{i+3}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S(X; k_{i+3}) \end{eqnarray*}$ erzeugt. Nach einem dritten Zyklus wird zu jeweils $\begin{eqnarray*} S(g_{i+4}; k_{i+5}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k_{o}; k_{i+5}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S(X; k_{i+5}) \end{eqnarray*}$ gelangt, usw.

Verbesserung der Konvergenz in zwei Varianten:
Für die verbesserte Konvergenz wird der kontinuierliche „Kurvenverlauf“ der 'Punktefolge $\begin{eqnarray*} S(g_{i};k_{i+1}) , S(g_{i+2};k_{i+3}) , S(g_{i+4};k_{i+5}) \end{eqnarray*}$ ... genutzt, der im Ergebnisbereich des Drittelwinkels einer Kreiskurve immer ähnlicher wird und dabei auch dem Grenzpunkt zustrebt.

1. Variante
Es wird durch drei der letzten Folge-Punkte eine Kreiskurve $\begin{eqnarray*} k_{i+6} \end{eqnarray*}$ konstruiert, welche bei der 1. Ausprägung den Kreis $\begin{eqnarray*} k_{0} \end{eqnarray*}$ im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(k_{0};k_{i+6}) \end{eqnarray*}$ und bei der 2. Ausprägung die X-Achse im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(X; k_{i+6}) \end{eqnarray*}$ schneidet. Das aktuelle Zwischen-Ergebnis hat bei der 1. Ausprägung die Grösse Drittelwinkel $\begin{eqnarray*} _{i+6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = | \measuredangle|S(k_{0};k_{i+6}),M,C| \end{eqnarray*}$ und bei der 2. Ausprägung die Grösse Drittelwinkel $\begin{eqnarray*} _{i+6} = | \measuredangle A,S(X;k_{i+6}),B|. <br /> \end{eqnarray*}$
Der Iterationszyklus von (i+6)-ten Zwischenwert zum (i+9)-ten Zwischenwert des Drittelwinkels umfasst hier 2 Kreise und 1 Gerade.

2. Variante
Es wird durch zwei der letzten Folge-Punkte eine Gerade $\begin{eqnarray*} g_{4} \end{eqnarray*}$ konstruiert, welche bei der 1. Ausprägung den Kreis $\begin{eqnarray*} k_{0} \end{eqnarray*}$ im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(k_{0};kg_{4}) \end{eqnarray*}$ und bei der 2. Ausprägung die X-Achse im Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(X; g_{4}) \end{eqnarray*}$ schneidet. Das aktuelle Zwischen-Ergebnis hat bei der 1. Ausprägung die Grösse Drittelwinkel $\begin{eqnarray*} _{i+4} = | \measuredangle S(k_{0};g_{i+4}),M,C| \end{eqnarray*}$ und bei der 2. Ausprägung die Grösse Drittelwinkel $\begin{eqnarray*} _{i+6} = | \measuredangle A,S(X;g_{i+4}),B|. \end{eqnarray*}$
Der Iterationszyklus von (i+4)-ten Zwischenwert zum (i+7)-ten Zwischenwert des Drittelwinkels umfasst hier 1 Kreise und 2 Geraden usw.

Mein gelieferter Vergleich vom 04.10.2021 ist mit dem Grundverfahren der 2. Ausprägung, 2. Variante für die Konvergenzverbesserung geführt.

Zitat:

Original von HAL 9000
Deine Erbsen- äh Schrittzählerei ist übrigens belanglos, solange sich die Konvergenzordnungen der Verfahren derart unterscheiden.

Das finde ich nicht! Meine hohe Ergebnisgenauigkeit schon mit 4 Nullen nach dem Komma nach 9 und schon mit mindestens 15 Nullen nach dem Komma nach 15 gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten reicht wohl sicher für das alltägliche Leben aus und hat mich schon sehr überrascht. Auch dein Verfahren ist überraschend gut.

Es bleibt dabei, eine möglichst gering verbrauchte Rechenzeit (Schritte) ist auch bei einer maschinellen Berechnung immer von Vorteil, können doch dann mehr Aufgaben je Zeiteinheit berechnet werden.

06.10.2021, 20:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von quadrierer

Zitat:

Original von HAL 9000
Deine Erbsen- äh Schrittzählerei ist übrigens belanglos, solange sich die Konvergenzordnungen der Verfahren derart unterscheiden.

Das finde ich nicht!

Was einmal mehr zeigt, dass du das mit der Konvergenzordnung einfach nicht wahrhaben willst.

15.10.2021, 17:11

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Was einmal mehr zeigt, dass du das mit der Konvergenzordnung einfach nicht wahrhaben willst.

Beim Winkeldritteln mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sind die von besonderer Bedeutung, die mit den wenigsten gezeichneten Kreis-und Gerade-Objekten eine beliebig gewählte Genauigkeit erreichen, beispielsweise 15 wahre Nachkommastellen beim konstruierten Drittelwinkel. Werden mit einem anderen Verfahren dafür deutlich mehr gezeichnete Objekte benötigt, dann ist dieses Verfahren weniger effizient. Die Konvergenzordnung allein, die nur die Anzahl der Iterationszyklen einbezieht, sagt hier zu wenig über die Effizienz eines Grenzprozess-Verfahrens aus, denn die Iterationszyklen der unterschiedlichen Verfahren umfassen unterschiedlich viele zu zeichnende Kreis- und Gerade-Objekte bzw. Zahlenverknüpfungen. Die Ausführung der Iterationszyklen bei unterschiedlichen Grenzprozess-Verfahren ist also unterschiedlich aufwendig, wie auch mein Verfahrens-Vergleich vom 04.10.2021 zeigt.

15.10.2021, 19:12

HAL 9000

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Damit du Ruhe gibst: Dein zweimal nachgebessertes Verfahren erster Konvergenzordnung ist ganz, ganz toll auf den ersten Metern bis zur Zeichengenauigkeit. Und da das ja das Entscheidende ist, ist es das GröVaZ* der Winkeldrittelung. Big Laugh

* = Größtes Verfahren aller Zeiten

17.10.2021, 16:05

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Damit du Ruhe gibst: Dein ... Verfahren ... ist ganz, ganz toll auf den ersten Metern bis zur Zeichengenauigkeit. n

Die Leser erfahren wieder mal nichts Genaues. Welche Zeichengenauigkeit und welche Grössen sind hier gemeint? Ist es die mit Zirkel und Lineal auf einem Blatt Papier erreichbare Zeichengenauigkeit oder ist es die mit einer Geometrie-Software erreichbare?

Weil einige Bilder in Beiträgen von mir heute nicht mehr angezeigt werden (es ist unklar warum?) mache ich nun nochmal einen Versuch mit meinem Grenzprozess-Verfahren. Es bleibt mit 60° vergleichbar zu bisherigen Betrachtungen. Mein immer gleiches Grundprinzip funktioniert für beliebige Startpunkte. Um mit möglichst wenigen gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten die besten, sprich geringsten Ergebnisfehler zu erreichen, wird der Verfahrensverlauf optimiert, unter anderem auch die Möglichkeit genutzt, einen günstigen determinierten Startpunkt zu finden.
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Das zweite Bild wurde gelöscht, wird aber trotzdem noch angezeigt.

17.10.2021, 16:49

HAL 9000

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Das war ein Friedensangebot von mir, aber du hast es in deiner Arroganz ausgeschlagen. unglücklich

Zitat:

Original von quadrierer
Die Leser erfahren wieder mal nichts Genaues.

Du hast eine ganz schöne Chuzpe: Ich habe mein Verfahren oben hinsichtlich Konvergenzgeschwindigkeit und -ordnung genau analysiert - während du das (auch auf mehrfache Aufforderung von mir) für deine Verfahren nie getan hast. Stattdessen nur mehrfache Änderungen des Verfahrens, und nirgends nachprüfbare Betrachtungen zu Konvergenzgeschwindigkeit und -ordnung. Das "wieder mal" ist übrigens der Gipfel der Dummdreistigkeit.

Also reiß' hier nicht so großspurig die Klappe auf und schieb mir den Schwarzen Peter zu, sondern hole das Versäumte für dein Verfahren nach! Eine oberflächliche Rechnung für EIN Winkelbeispiel ist da nicht genug. Forum Kloppe

P.S.: Dein Zugang zur Geometrie scheint eine Art "pröbeln" zu sein (wenn du nicht weißt, woher diese Analogie stammt, kannst du das hier nachlesen). So kann man sicher anfangen, aber man muss dann auch mal den nächsten Schritt gehen, zum seriösen Beweis. Diesen Schritt kannst oder willst du nicht gehen, was die Diskussion mit dir so schwierig macht.

20.10.2021, 20:26

quadrierer

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Wir sind wieder mal an einer Stelle angelangt, wo Argumente austauschen offenbar nichts mehr bringt, ausser Verdruss.
Vieles und auch Wesentliches ist hier zu klassisch konstruierten Grenzprozessen für das Winkeldritteln abgehandelt worden. Diese Grenzprozesse sind möglich und sie sind interessant, auch wenn sie in das berühmten Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z)) nicht aufgenommen sind und deshalb bis heute bei den nachgeborenen Geometern und ihren Publikationen so gut wie unbetrachtet bleiben.

Alles ist Ansichtssache,
so natürlich auch meine Sichtweise zum mit HAL9000 erörtertem Wissens-Stand.

Das klassisch nur mit Kreisen und Geraden gezeichnete exakte Winkeldritteln ist nicht nur mit zusätzlichen Hilfsmitteln (Lineal. Rechtwinkelhaken usw.) möglich, sondern auch ohne zusätzliche Hilfsmittel mit dem unbeschränkt schwach konvergierendem Fialkowski-Grenzprozess- Verfahren (Halbierungen gemäss der 1/3-Reihe) und auch noch mit weiteren anderen Grenzprozessen auf anderen Zusammenhang-Grundlagen. Zumindest gibt es noch die neuerdings bekannt gewordenen klassisch konstruierten Grenzprozess-Verfahren nach Quadrierer und HAL.

Die Sichtweise auf die Grenzprozesse des Winkeldrittelns unterscheiden sich bei HAL und Quadrierer:

HAL:
Es wird konkret von der Zahl 3 ausgegangen und u.a. mit einer Verdreifachung je Zyklus gearbeitet. Als Gütemass für konstruierte Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln soll die Konvergenzordnung gelten, in deren Berechnung der konkrete Konstruktionsaufwand bzw. Rechenaufwand für einen Iterationszyklus nicht eingehen. Die „Genauigkeit-Aufwand-Effizienz“ soll keine Betrachtungsgrösse für Vergleiche sein, da das Erreichen eines befriedigend kleinen Ergebnisfehlers erst später oberhalb der „Zeichengenauigkeit“ erreicht wird, dann aber mit „Turbogeschwindigkeit“.

Quadrierer:
Es wird nicht von der Zahl 3 ausgegangen und mit keiner Verdreifachung je Zyklus gearbeitet. Es werden Grenzprozess-Verfahren mit bester „Genauigkeit-Aufwand-Effizienz“ angestrebt. Deshalb wird als Gütemass für die Grenzprozess-Verfahren die Grösse des Ergebnisfehlers abhängig zur Anzahl der aktuell gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte gesehen. Der hier mit Geogebra 5 konstruierte / berechnete Ergebnisfehler < (2*10^{-3}) Grad bei nur 6 gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten und < (2*10^{-10}) Grad bei nur 9 gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten (Beitrag vom 17.10.2021) ist ein, schon für Schüler und Laien, gut verständliches Ergebnis. Ein Unterbieten dieser Ergebnisse wäre hier eine super Leistung.

Die Sache, die HAL mit dem „Pröbeln“ aufwirft, sehe ich wie folgt:
Ich weiss nicht so recht, was HAL damit bezweckt? Will er damit unterstellen, mein Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln sei allein nur durch „Pröbeln“ gefunden worden? Wenn dies so möglich wäre, dann hätte es im historisch langem Zeitraum von über 2000 Jahren schon längst jemand gefunden. Eher trifft wohl die gegenteilige Erwartung für „unmöglich“ zu, die im Verlauf der Zeit immer mehr anwuchs. Schließlich bewies der französische Mathematiker P.Wantzel im Jahre 1837 das keine vollständig (abschliessend) zusammengesetzte Ergebnisdarstellung bzw. Zahl zum Drittelwinkel konstruiert werden kann. Dieses für Schüler und Laien etwas spröde Ergebnis kann als verständliches Ergebnis auch auf anderem Wege heraus gefunden werden. Hier muss man nur daran denken, dass keine beliebig gegebene Ausdehnungsgrösse als Zahl-Abbild vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann. Auch nicht einen zu drittelnden Winkel von beliebiger Grösse.

Ob Wantzel bei seinem Beweis auch an konstruierte Grenzprozess-Zusammenhänge als Lösungsgrundlage dachte, weiss ich nicht? Ich würde es eher bezweifeln. Schaue ich in die relevante Fachliteratur entsteht bei mir der Eindruck, als gehe es bei der von Wantzel bewiesenen „Unmöglichkeit“ nicht mehr um die Unmöglichkeit einer vollständig abgeschlossenen Ergebnisdarstellung des Drittelwinkels, sondern allgemein darum, dass nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Verfahren, die den Prozess eines exakten Winkeldrittelns leisten, nicht möglich seien. Eine solche Einsicht lässt sich nicht aufrecht erhalten, wie die hier zuvor vorgezeigten Grenzprozess-Verfahren von Quadrierer und HAL nochmals deutlich zeigen. Es wird schon mit wenigen Schritten (wenige gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte) und nicht erst nach endlos vielen Schritten zu Ergebnisfehlern (= Abstand bis zun exakten Ergebnis) beim erzeugten Drittelwinkel gelangt, die im „sub-subatomaren Bereich“ liegen, also praktisch Null sind.

Noch ein Wort zum „Pröbeln“:
Ich schliesse mich der Einsicht an, dass erst das Zusammenspiel von Hinterfagen, „Pröbeln“ und Theorie nachbessern, beim Erkenntnisgewinn stetig weiter führt.

10.12.2021, 15:09

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
23.08.2021
Das von quadrierer vorgestellte Verfahren drittelt daher einen Winkel.

Das war nun eine Untersuchung mit im wesentlichen analytischen Methoden. Die Untersuchung ist noch nicht in jedem Detail abgesichert. Man darf auch gern rein geometrische Überlegungen anstellen. Vielleicht will quadrierer darauf hinaus.

Du schreibst, deine mit analytischen Methoden gewonnenen Einsicht ist noch nicht in jedem Detail abgesichert. Da, wie nachfolgend gezeigt wird, durch rein geometrische Überlegungen dieses Winkeldritteln bestätigt ist, kann vermutet werden, die Absicherung wird auch rein analytisch möglich sein. Sie wird, wie das bisher Geleistete, etwas aufwendig und nicht gerade einfach zu verstehen sein. Lernenden dürfte hier das Einsehen schwer fallen.

Grundlage für mein klassisch konstruiertes WDT-Grenzprozess-Verfahren ist der quasi "naturgegebene" 3-er Zusammenhang im euklidischen Raum, ohne dass dabei mit Zahlen operiert wird, so dass auch kein direktes Multiplizieren und Dividieren mit der Zahl 3 stattfindet.

Meine folgende klassische Konstruktion macht dieses offenbar „naturgegebene“ 3-er Kohärenzsystem anschaulich nachvollziehbar. Es kann erkannt werden, dass der Grenzpunkt / Grenzzustand mit dem Winkeldrittelpunkt zusammen fällt.

Die folgenden beiden Konstruktionsbilder zeigen zwei verschiedene Grössen des gegebenen bzw. zu erzeugenden Winkels $\begin{eqnarray*} 3\alpha \end{eqnarray*}$ , einmal für $\begin{eqnarray*} (0 < 3\alpha<\pi/2) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} (\pi/2< 3\alpha<\pi) \end{eqnarray*}$ . Diese Konstruktionen erweisen sich durch die Winkelsumme am Punkt M als ein 3-er Kohärenzsystem. Die Kriterien, die dafür erfüllt sein müssen und denen mit geeigneten Grenzprozessen zuzustreben ist, sind:

• Beim schwarzen Polygonzug im schwarzen Kreis aus vier Strecken (siehe Bilder) muss die dritte Strecke parallel zur ersten Strecke sein und die vierte Strecke parallel zur zweiten Strecke.

• Die verlängerte Polygonzug-Strecke durch den Winkelpunkt $\begin{eqnarray*} 3\alpha \end{eqnarray*}$ auf der schwarzen Kreislinie schneidet die Koordinatenachsen im Abstand des Durchmessers vom schwarzen Kreis und die schwarze Kreislinie in der Mitte zwischen den beiden Achsenschnittpunkten.

Dieses räumliche Zusammenhang-Modell ist nicht auf die hier beschriebene halbe Umdrehung beschränkt.
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