Geschwindigkeitsgleichung v(t): Reibschwinger

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Chander Auf diesen Beitrag antworten »
Geschwindigkeitsgleichung v(t): Reibschwinger
Es geht um die Herleitung der Formel für v(t) eines Einmassenschwingers mit geschwindigkeitsunabhängiger Reibung.

Eine Masse m gleitet entgegen der Kraft einer Druckfeder mit Federrate k von der Nulllage ausgehend in positiver x-Richtung. Die maximal mögliche Amplitude sei A. Die vorliegende Betrachtung bezieht sich auf das erste Viertel der Schwingung, also den Bereich < x < A, d.h. m befindet sich zwischen der Ausgangslage und dem ersten Umkehrpunkt der Schwingbewegung. Während der Bewegung wirken an gewissen Stellen diverse Reibkräfte, weil die Masse verschiedene Elemente streift. Die jeweilige Auslenkung der Masse an diesen Stellen sowie die zugehörige Reibkraft sind bekannt.

Der Ablauf wurde in eine entsprechende Anzahl an Teilabschnitten unterteilt und für jeden Abschnitt

berechnet. Hierbei ist
A die Amplitude des reibungsfreien Schwingers,
die Verminderung der Amplitude durch Reibung, mit
mit der Reibkraft in x-Richtung und der Federkonstanten k
sorgt für den korrekten Übergang zwischen den Abschnitten und berechnet sich aus

Kreisfrequenz und Nullphasenwinkel folgen aus den Anfangsbedingungen des jeweiligen Abschnitts.

Die Geschwindigkeit v(x) des Schwingers konnte mittels Energiesatz exakt berechnet werden (und dient als Referenz). Es ergeben sich nahtlose Übergänge für x(t) und v(x) zwischen den einzelnen Abschnitten. Deshalb gehe ich davon aus, dass die jeweiligen Gleichungen für x(t) und die Parameter korrekt sind.

Da nun allerdings auch noch die Beschleunigung von Interesse ist, ist auf dem Weg zu a(t) die Ableitung von x(t) unumgänglich.
Beim Ableiten nach t ließ ich zunächst die Konstante wegfallen. Die Ableitung von x(t), d.h.,

liefert v(t)-Werte, die sich nicht mit jenen der Berechnung nach dem Energiesatz decken. Zwischen v(x) und v(t) besteht eine Differenz, die sich mit fortschreitendem x leicht abnehmend verhält.

Versuchsweise fügte ich einen weiteren Sinus-Term hinzu. Dies brachte eine Verbesserung, aber ist so unmathematisch, dass ich es an dieser Stelle nicht näher beschreiben möchte. An den Abschnittsübergängen passte die Geschwindigkeit exakt, aber innerhalb des jeweiligen Abschnitts bestand eine Abweichung im Bereich von bis zu 0,001 m/s.
Kurzum: Es passt nicht. Es ist mir ein Rätsel, wie ich von x(t) auf v(t) komme und ich würde mich über Unterstütung sehr freuen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Herleitung der Schwingungsgleichung bei Anwesenheit von Reibung:
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Auf den Federschwinder wirken folgende 4 Kräfte

Kraft Nr. 1: Federkraft
Die Federkraft ist proportional zur Auslenkung x aus der Gleichgewichtslage, also . Das bedeutet, je länger man die Feder auseinander zieht, um so größer ist die Kraft, mit der die Feder zurück zwill. Der Proportionalitätsfaktor wird als Federkonstante bezeichnet und ist ein Maß für die Härte der Feder,

Kraft Nr. 2: Reibungskraft
Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit , also (=Näherung). Das bedeutet, je schneller sich der Körper bewegt, um so mehr Reibungswiderstand spürt er. Der Proportionalitätsfaktor wird als Dämfungskonstante bezeichnet.

Kraft Nr. 3: Trägheitskraft
Jeder Körper ist träge. Das heißt er will seine momentane Geschwindigkeit behalten und widersetzt sich deshalb jeder Geschwindigkeitsänderung (=Beschleunigung) durch eine sog. Trägheitskraft. Diese ist proportional der Beschleunigung, also . Der Proportionionalitätsfaktor m ist die Masse, denn der Körper widersetzt sich um so mehr der Beschleunigung, je schwerer er ist.

Kraft Nr. 4: Äußere Kraft
Oft wirkt noch eine äußere Kraft - z.B. die Erdanziehungskraft oder eine magnetische Kraft, die den schwingenden Körper beeinflusst.

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Aus diesen 4 Kräften ergibt sich die Schwingungsgleichung wie folgt: Es herrscht ein Gleichgewicht dieser 4 Kräfte - zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort. Deshalb gilt



Setzt man hier die obigen Formeln ein, bekommt man die bekannte Schwingungsgleichung



In deinem Falle fehlt die äußere Kraft, also . Damit vereinfacht sich die Schwingungsgleichung zu



Das ist eine Differentialgleichung für die Auslenkung x(t). Die Lösung ist ein rein mathematisches Problem, das nichts mehr mit Physik zu tun hat.

Für die Lösung benötigt man noch 2 Anfangsbedingungen (Beispiel): Zu Beginn sei der Körper in der Gleichgewichtslage x=0 und die Geschwindigkeit sei dort vorgegeben durch

Die mathematische Lösung der Schwingungsgleichung wird in Büchern über Differentialgleichungen beschrieben.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos, vielen Dank für Deine Antwort.
Bisher ging ich davon aus, dass der horizontale Masseschwinger mit Coulomb-Reibung eine konstante Dämpfung besitzt.
Ich komme mit der Schwingungsgleichung noch immer nicht klar. Lehrbeispiele nehmen an, dass bei t=0 eine bestimmte Auslenkung vorhanden und v(0)=0 ist. Dann wird erklärt, der Betrag der Reibungskraft sei beim Reibschwinger konstant und es folgt der Hinweis, dass die Amplitude pro Halbschwingung um den Betrag 2Fr/k abnimmt. Die Quellen drücken sich um die Herleitung der v(t) für Anwendungsfälle, bei denen v(0) ungleich Null ist.

Eventuell kann mir ja mal jemand über die Schulter blicken, denn ich scheitere bereits zu Beginn.
Es geht um das erste Viertel, also zwischen Nulllage und erstem Umkehrpunkt. Die Masse hat einen Stoß erhalten. Zu Beginn der Betrachtung befindet sie sich an der Stelle x1 und ihre Geschwindigkeit beträgt v1. Die Auslenkung läuft in positiver x-Richtung, v ist ebenfalls positiv. Es wirkt die Reibungskraft FR und die Federkonstante sei k.
Die Kreisfrequenz ist wie beim ungedämpften Masseschwinger,






Für den Beginn bei t=0 folgt:


Wie in meinem ursprünglichen Beitrag erwähnt, streift die Masse auf ihrem Weg verschiedene Steuerelemente. Deshalb wurde der Bewegungsablauf in mehrere Abschnitte unterteilt. Über die Energieerhaltung, unter Berücksichtigung von Reibarbeit = Kraft mal Weg, erfolgt die Plausibilitätskontrolle der Schwingungsgleichung. x(t) und v(t) wie eben genannt, liefern ausschließlich für t=0 korrekte Ergebnisse. Sobald der Sinus-Anteil wirkt, nimmt x(t) minimal zu große und v(t) minimal zu kleine Werte an.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Wie von Ehos vorgeschlagen, nun der gedämpfte horizontale Federschwinger mit schwacher Dämpfung. Um es vorweg zu nehmen: das Ergebnis ist äußerst vielversprechend, aber x(t) steigt minimal zu schnell an und v(t) sinkt zu schnell, d.h., ich zweifle an der Definition der Parameter, insbesondere des Dämpfungskoeffizienten.

Die Differentialgleichung für die Auslenkung x(t)


Daraus folgt mit den Anfangsbedingungen x(0)=x1 und v(0)=v1


Und nun der knifflige Part:
Kreisfrequenz des reibungsfreien Schwingers
Amplitude des reibungsfr. Schwingers
Federweg bei Start
zweiter Parameter für A
Kreisfrequenz des Reibschwingers
Abklingkonstante
Dämpfungskoeffizient
Reibungskraft
Gleitreibungskoeffizient, ca. 0,15


Der Schwingfall der schwachen Dämpfung liegt vor, da erfüllt ist.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Lässt sich für den gedämpften horizontalen Masseschwinger eine Funktion t(x) herleiten oder aus den bestehenden Gleichungen für x(t) und v(t) durch Umformung ... ?
Das wäre für die Berechnung von Auslenkung und Geschwindigkeit am Abschnittsende vorteilhaft.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel x(t) = e... liefert eine schwach gedämpfte Schwingung, s. Anhang. Ich werde wieder zurückgehen zur geschwindigkeitsunabhängigen Dämpfung.

Aber ich habe vermutlich an anderer Stelle einen Fehler im Ansatz. Die Schwingung wird durch einen Kraftstoß initiiert. Dies berücksichtigt die Herleitung der Gleichung nicht. Deshalb stellte ich nun hier die entsprechende Frage.
Das Ding ist, Ehos erklärt den Kraftstoß, Greensche Funktion ind Grundlösung sehr ausführlich, z.B. hier, hier, und dort, aber bei mir scheitert es am intellektuellen Zugang zur Aussage und letztlich zur Umsetzung...
 
 
Chander Auf diesen Beitrag antworten »
Feder-Masse-Schwinger mit konstanter Reibung
Darf ich auf die ursprüngliche Aufgabenstellung zurückkommen bezüglich x(t) und v(t) beim horizontalen Feder-Masse-Schwinger mit konstanter Reibung, mit x(0) > 0?

Anbei eine Skizze des horizontalen Federschwingers um den es geht.
Eine Druckfeder mit der Federkonstanten k besitzt im ungespannten Zustand die Länge . Diese Länge definiert den Gleichgewichtszustand.
Die Masse m gleitet auf einer Unterlage mit konstanter Reibung. Die Reibkraft sei .
Unmittelbar vor Betrachtungsbeginn wurde auf die Masse ein Stoß übertragen. Bei t=0 liegt folgende Situation vor: Die Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit und befindet sich an der Stelle .

Die Anfangswerte:
=0,151 m, m/s
Außerdem k=430 N/m, m=0,5 kg, =5 N

Von Interesse ist das erste Viertel der Schwingung, d.h., in der Betrachtung erreicht die Auslenkung höchstens die maximal mögliche Amplitude.

Der Ansatz:



Man erhält



Die Kreisfrequenz ist die gleiche wie beim reibungsfreien Federschwinger,

Nun zunächst die Amplitude A für den Schwinger ohne Reibungseinfluss:


für t=0 folgt




Würde die Schwingung zum Zeitpunkt t=0 bei und mit 0 beginnen, erhielte man die für die erste Viertelschwingung die Schwingungsgleichung


Wobei = 0.
Die genannte Schwingung startet allerdings mit > 0 und die Frage ist, wie hierzu und eine ggf. anteilige Verschiebung um zu berücksichtigen ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Feder-Masse-Schwinger mit konstanter Reibung
Vorab sei bemerkt, dass die Schwingungsgleichung mit konstanter Reibkraft in der vorliegenden Form nur verwendet werden kann, solange sich die Masse in die positive x-Richtung bewegt. Bewegt sich die Masse in die umgekehrte Richtung, muss das Vorzeichen von geändert werden, da die Reibkraft immer der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Bei einer realen Bewegung wäre noch zu beachten, dass bei die Gleitreibung in Haftreibung übergeht, die Masse sich nach einem momentanen Stillstand also nur weiterbewegt, wenn an dieser Position die Federkraft größer als die Haftreibung ist.

Zur Reduktion der Zahl der Konstanten setze ich



Die Bewegungsgleichung in der Sinus-Kosinus-Form lässt sich leicht an Anfangsbedingung anpassen. Man bekommt



Um die Gleichung in die Form



zu bringen, betrachte man die Teilbewegung



Sie hat die Anfangsbedingungen





Jetzt bekommt man analog

dort



ist danach wieder simpel zu bestimmen. Möchte man statt der Sinus-Form lieber die Kosinun-Form, geht das mittels

Chander Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
Hallo Huggy, Du kannst Dir gar nicht vorstellen, wie dankbar ich Dir bin. Herzlichen Dank!
Am Datum des Threads (plus noch einiges an Vorlauf) kannst Du erkennen, wie lange mich dieses Thema bereits beschäftigt hat.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vielen Dank!
Es freut einen immer, wenn man erfolgreich helfen konnte.
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