Positiv definit

30.06.2021, 21:38

mesut95n

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Positiv definit

Meine Frage:
Hallo, kann ich irgendwie zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \end{eqnarray*}$ eine positiv definite Matrix ist? Ich kann es leider auf Anhieb nicht sehen, allerdings brauche ich diese Bedingung.

Bem: $\begin{eqnarray*} X \in \mathbb{R}^{m \times n } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I \in \mathbb{R}^{n\times n } \end{eqnarray*}$ ist die Identitätsmatrix

Folgt eigentlich aus positiv definit, dass die Matrix symmetrisch ist?

Meine Ideen:
Natürlich habe ich mir die Definition von "positiv definit" angeschaut, allerdings konnte ich nicht viel damit anfangen.

30.06.2021, 21:44

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RE: Positiv definit
Wie schaut denn die Definition von "positiv definit" aus?

30.06.2021, 21:49

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Jo, erstmal danke für die Antwort URL.

Die Definition in Wikipedia lautet…(siehe Bild)

30.06.2021, 21:54

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RE: Positiv definit
Na dann, deine Matrix ist $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ aus?

30.06.2021, 22:02

Leopold

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RE: Positiv definit

Zitat:

Original von URL
Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ aus?

Vorschlag zur besseren Lesbarkeit: $\begin{align*} u^{\top} Au \end{align*}$ mit $\begin{align*} u \in \mathbb{R}^{n \times 1} \end{align*}$

30.06.2021, 22:16

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Also zunächst einmal gilt wissen wir, dass wir eine nxn- Matrix als Ergebnis bekommen. Schreiben wir also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{y_{11}^2}{2}+1/3 & \frac{y_{12}^2}{2}+1/3& \cdots & \frac{y_{1n}^2}{2} +1/3\\ \vdots& \ddots & \vdots \\ \frac{y_{n1}^2}{2}+1/3 & \frac{y_{n2}^2}{2}+1/3&\cdots & \frac{y_{nn}^2}{2}+1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} x^{\top}\begin{pmatrix} \frac{y_{11}^2}{2}+1/3 & \frac{y_{12}^2}{2}+1/3& \cdots & \frac{y_{1n}^2}{2} +1/3\\ \vdots& \ddots & \vdots \\ \frac{y_{n1}^2}{2}+1/3 & \frac{y_{n2}^2}{2}+1/3&\cdots & \frac{y_{nn}^2}{2}+1/3 \end{pmatrix}x \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} x^{\top} \in \mathbb{R}^{1 \times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^{n \times 1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht, ob das der richtige Ansatz ist? verwirrt

verwirrt

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30.06.2021, 22:26

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RE: Positiv definit
Woher kommen die ganzen Quadrate in der Matrix? verwirrt

verwirrt

Es ist jedenfalls günstiger, die Aufgabe mit den Rechenregeln der Matrixmultiplikation zu lösen. Mit Leopolds Vorschlag ist
$\begin{eqnarray*} u^TAu=u^T(\frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I)u = \frac{1}{2}u^TX^{\top}Xu+\frac{1}{3}u^Tu \end{eqnarray*}$
Siehst du jetzt, wie es weiter geht?

30.06.2021, 22:36

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Die Quadrate sind aus der Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray*} X^{\top}X \end{eqnarray*}$ entstanden.

Wir können für $\begin{eqnarray*} u^{\top}u \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ||u||^2 \end{eqnarray*}$ schreiben, somit wissen wir, dass dieser Teil positiv sein muss!

Für den anderen Teil fällt mir ehrlich gesagt nicht viel ein. Die Komponenten von $\begin{eqnarray*} X^{\top}X \end{eqnarray*}$ sind positiv.. verwirrt

verwirrt

Vllt. ein Tipp?

30.06.2021, 22:43

Papuga

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Betrachte für den anderen Teil X*u als neuen Vektor. Z.b z=X*u, was ist dann zu sehen?

30.06.2021, 22:47

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RE: Positiv definit
$\begin{eqnarray*} u^TX^TXu = (Xu)^TXu \end{eqnarray*}$

Die Komponenten von $\begin{eqnarray*} X^TX \end{eqnarray*}$ müssen nicht positiv sein. Betrachte $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2021, 22:50

Leopold

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RE: Positiv definit
Nebenbemerkung zu

Zitat:

Original von Mesut95n
Die Quadrate sind aus der Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray*} X^{\top}X \end{eqnarray*}$ entstanden.

Nur damit das nicht so stehenbleibt.

Für $\begin{align*} \color{grey} X = \left( x_{\mu \nu} \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} \color{grey} X^{\top} X = \left( t_{ij} \right) \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \color{grey} t_{ij} = \sum_{k=1}^m x_{ki} x_{kj} \end{align*}$

30.06.2021, 22:54

Mesut95n

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Uhh, ich habs jetzt!

$\begin{eqnarray*} z= Xu \in \mathbb{R}^{m \times 1} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} z^{\top}= u^{\top}X^{\top} \in \mathbb{R}^{1 \times m} \end{eqnarray*}$ und damit ist

$\begin{eqnarray*} z^{\top}z= ||z||^2 >0 \end{eqnarray*}$

Du hast es einfach perfekt erklärt vielen Dank! Prost

Prost

Übrigens: Kann ich nun davon ausgehen, dass die Ausgangsmatrix symmetrisch ist?
Ich denke nicht, da es positiv definite Matrizen gibt, die nicht symmetrisch sind, aber wieso wird dann eine positiv definite Matrix nur für symmetrische Matrizen definiert. verwirrt

verwirrt

Kannst du mich aufklären?

30.06.2021, 22:58

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Ups, wie peinlich. Danke für die Bemerkung!

30.06.2021, 23:00

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Danke auch an die Helfer @Leopold und @Papuga smile

smile

30.06.2021, 23:16

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Für jede quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u^TXu=\frac 1 2 u^TXu + \frac 1 2 u^TXu= \frac 1 2 (u^TXu)^T + \frac 1 2 u^TXu= \frac 1 2 u^TX^T u + \frac 1 2 u^TXu= u^T \left ( \frac 1 2 (X^T +X) \right ) u \end{eqnarray*}$ .
Die Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist also genau dann positiv definit, wenn es die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (X^T +X) \end{eqnarray*}$ ist. Deswegen kann man ohne Einschränkung "positiv definit" nur für symmetrische Matrizen definieren.

30.06.2021, 23:20

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Also kann ich jetzt nicht sagen das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist? verwirrt

verwirrt

ohje, ich bräuchte diese Eigenschaft geschockt

geschockt

30.06.2021, 23:21

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RE: Positiv definit
Prüfe doch einfach nach, ob die Matrix symmetrisch ist, indem du die Transponierte berechnest.

30.06.2021, 23:34

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Für eine symmetrische Matrix muss

$\begin{eqnarray*} A^{\top}=A \end{eqnarray*}$ gelten.

Es ist

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \right)^{\top}= \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \end{eqnarray*}$ .

Oha ist ja symmetrisch Freude

Freude

Können wir eigentlich folgern, dass eine symmetrischen Matrix, die positiv definit ist Invertierbar ist? Also das

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert? Ich denke das müsste gehen, kann ich dann sagen , dass $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ auch symmetrisch und positiv definit ist? verwirrt

verwirrt

30.06.2021, 23:46

Mesut95n

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RE: Positiv definit
Zu meinen Behauptungen:

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Dementsprechend hat eine symmetrische positiv definite Matrix in ihrer Diagonalmatrix nur positive Elemente. Eine Diagonalmatrix, die nur positive Elemente hat ist Invertierbar.

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}X^{\top}X+\frac{1}{3}I \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert also.

Kann ich sagen, dass die Matrix auch symmetrisch und positiv definit ist?

01.07.2021, 00:11

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RE: Positiv definit
Die Inverse einer symmetrischen, positiv definiten Matrix existiert und ist symmetrisch und positiv definit.

01.07.2021, 05:57

Leopold

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Zitat:

Original von Mesut95n
$\begin{eqnarray*} z^{\top}z= ||z||^2 >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} >0 \, \text{?} \ \ \geq 0 \, \text{?} \end{align*}$

Zum Beispiel $\begin{align*} X = O \end{align*}$ .

01.07.2021, 11:12

Mesut95n

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RE: Positiv definit
@Leopold

Natürlich $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Insgesamt haben wir trotzdem positiv definitheit, da $\begin{eqnarray*} ||u||^2 >0 \end{eqnarray*}$ ist, wegen $\begin{eqnarray*} u \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von URL
Die Inverse einer symmetrischen, positiv definiten Matrix existiert und ist symmetrisch und positiv definit.

Wie kann ich mir das ohne einen Beweis klar machen? War der Ansatz von oben richtig?

Also eine symmetrische Matrix ist diagonalisierbar,.. verwirrt

verwirrt

01.07.2021, 16:36

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RE: Positiv definit
Für eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=D \end{eqnarray*}$ , wobei die Spalten von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren sind und die Diagonalelemente der Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte. Diese Gleichung muss man nur invertieren, um einzusehen, dass auch die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ alle positiv sind, wenn es die von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind.

Man kann auch geometrisch argumentieren: Bei positiv definitem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen die Vektoren $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Au \end{eqnarray*}$ immer auf der gleichen Seite der Ebene, die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ oder zu $\begin{eqnarray*} Au \end{eqnarray*}$ ist. Damit kann man das dann für $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ zeigen.

01.07.2021, 17:33

mesut95n

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RE: Positiv definit
Wenn ich mal den ersten Ansatz verfolge, dann ist

$\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen nun, dass die Inverse von A existiert, wegen

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(SDS^{-1})^{-1} = SD^{-1}S^{-1} \end{eqnarray*}$

- S ist invertierbar, da S vollen Rang hat bzw. die Spalten linear unabhängig sind
- D ist invertierbar, da wir von einer positiv definiten Matrix ausgehen und somit sind alle Eigenwerte, also die Diagonalelmente größer 0 und damit folgt Invertierbarkeit.

Habe ich für die Invertierbarkeit richtig argumentiert?

Da die Diagonalelemente von $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ alle positiv sind (die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ) , ist somit auch die positiv definitheit gezeigt.

richtig?

01.07.2021, 18:55

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RE: Positiv definit
Freude

Freude

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