Quadratische Erweiterungen und Normgruppe von Q_5[\sqrt(2)]

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ichbinneu Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Erweiterungen und Normgruppe von Q_5[\sqrt(2)]
Hallo liebe Leute,

ich soll die Normgruppe von bestimmen und dann die quadratischen Erweiterungen.
Nunja, die Elemente von haben ja die Form , wobei a und b 5-adische Zahlen sind. Die Norm N eines Elementes ist ja
Zitat:
a^2 -2b^2
.
Nun weiß ich nicht genau, wie ich die Normgruppe bestimmen soll.
und sind doch nun sicherlich als 5-adische Zahlen darzustellen? Das müsste ich doch dann über Faltung machen, oder? Mir scheint dass das nicht die richtige Richtung ist verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist die Normgruppe ? Sollst du die quadratischen Erweiterungen von oder von bestimmen ?

Hilft das Quadratische Körpererweiterungen von Q_5 ?
ichbinneu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was ist die Normgruppe ? Sollst du die quadratischen Erweiterungen von oder von bestimmen ?
?


Die von Q_5 adjungiert Wurzel 2.
Und die Normgruppe ist auf Wikipedia unter Norm Group beschrieben (kann leider keine Links posten)
Leider ist das auch das einzige dass ich dazu finde.
Also meines Verständnisses nach ist es die Menge aller Normen, welche die Elemente haben können.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, Klassenkörpertheorie ... vermutlich nichttrivial. Helmut Hasse studieren ist kein reines Vergnügen aber immer nützlich. http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002171171

(Ich habe momentan nicht die Nerven dazu.)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Extra für Dich habe ich mir jetzt die beiden Bücher "Algebraische Zahlentheorie" (https://www.amazon.de/gp/product/3540375...0?ie=UTF8&psc=1) und "Klassenkörpertheorie" (https://www.amazon.de/gp/product/3642173...0?ie=UTF8&psc=1) von Jürgen Neukirch gekauft. Mal sehen, ob es etwas nützt - bevor Du jetzt ein schlechtes Gewissen bekommst, ich wollte mir die beiden Bücher sowieso anschaffen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Thema lässt mich nicht mehr los, darum habe ich versucht, mir selbst ein Bild zu machen. Wir wissen, dass 2 und 3 keine Quadrate modulo 5 sind, bekanntlich gibt es also die 5 quadratischen Erweiterungen . Diese geben Anlass zu biquadratischen, triquadratischen, quadroquadratischen und einem quintoquadratischen Erweiterungskörper von . Der Teilkörperverband sieht bestimmt sehr hübsch aus, auf einem DIN A6 Blatt habe ich ihn fast hinbekommen, aber das kannst du bestimmt besser. (Es scheint so, dass jede biquadratische Erweiterung in drei triquadratischen liegt und jede triquadratische drei biquadratische Erweiterungen enthält. Eine Etage tiefer ist es noch übersichtlicher, jeder quadratische liegt in vier biquadratischen Erweiterungen und jede biquadratische Erweiterung enthält offenbar zwei quadratische Erweiterungen. Weiter oben habe ich mich verhaspelt und ganz oben wird es trivial.) Und dann bleibt die Frage, ob damit die Aufgabe richtig und vollständig bearbeitet ist und was das mit der Normgruppe zu tun hat ...
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Oder stimmt das alles gar nicht und es gibt bis auf Isomorphie nur 3 verschiedene quadratische Erweiterungen über verwirrt

Nachtrag: Laut Alain M. Robert "A Course in p-adic Analysis" gibt es tatsächlich bis auf Isomorphie genau drei verschiedene quadratische Erweiterungen über . Wie ein Isomorphismus zwischen und konkret aussieht, weiß ich aber auch nicht.

Noch zu beantworten: Was bedeutet das für quadratische Erweiterungen von ?
ichbinneu Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Elvis,

bitte entschuldige, dass ich mich hier nicht mehr gemeldet habe. Ich denke, ich werde mir jetzt mal hier einen Account zulegen, damit ich auch per e-Mail darauf hingewiesen werde, denn ich weiß deine Mühe sehr zu schätzen. Die Aufgabe ist tatsächlich noch akut, gerade bin ich aber mitten in einem anderen Thema. Unser Prof hat uns nun noch mit auf den Weg gegeben, dass man sich in den entstehenden Normen das Glied mit dem niedrigsten Index anschauen sollte.
Dazu werde ich morgen nochmal meine Gedanken aufschreiben und würde mich sehr freuen, wenn wir wieder in den Dialog treten könnten smile

Nochmals vielen Dank!
ichbinneu Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe ja 5-adisch darzustellen.
Mein Ansatz ist
Also sind und .
Sei nun
Damit ist .
Nun meinte unser Prof, man solle sich mal die p-adische Bewertung anschauen, insbesondere die des ersten Gliedes.
Leider weiß ich wirklich nicht, auf welche Fährte mich das führen soll verwirrt
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

also wir haben die Aufgabe nun gelöst.
Mein Ansatz, den Term 5-adisch darzustellen war korrekt. Es ging dann darum zu schauen, ob lösbar ist.
Falls dem so wäre, hätte sich das erste Glied weggehoben. Da es aber nicht so ist, hat also jedes Element in eine gerade 5-adische Bewertung.

Falls ich die Frage missverständlich gestellt haben sollte, tut mir das leid. Ich tue mir mit diesem Thema leider immer noch sehr schwer.

Außerdem soll nun die Rückrichtung noch gezeigt werden.
Würdest du mir dabei vielleicht nochmal unter die Arme greifen?

Liebe Grüße
ichwarneu
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich tue mich auch schwer. Ich verstehe die Lösung nicht und weiß auch nicht, was du mit Rückrichtung meinst.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag Elvis,

also die Lösung ist diese:
Sei . Dann ist die Norm .
Es ist nun
Da verschwindet der erste Summand nicht und man erhält die 5-adische Bewertung 2n.
Also ist jedes Element in von gerade Bewertung.

Die Rückrichtung ist zu zeigen, dass jede Zahl mit gerade 5-adischer Bewertung in liegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hängt das mit der Aufgabe zusammen ? Wenn und zwei nichtisomorphe quadratische Erweiterungen von sind, ist dann nicht eine quadratische Erweiterung von ?
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mir fehlt die Erfahrung und das Verständnis, aber ich weiß nicht, wie deine Frage gerade zu der Aufgabe passt? verwirrt unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ichbinneu
Zitat:
Original von Elvis
Was ist die Normgruppe ? Sollst du die quadratischen Erweiterungen von oder von bestimmen ?
?


Die von Q_5 adjungiert Wurzel 2.


Du suchst quadratische Erweiterungen von , und ich habe eine für dich gefunden.
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