Quadratische Erweiterungen und Normgruppe von Q_5[\sqrt(2)]

01.07.2021, 22:28

ichbinneu

Quadratische Erweiterungen und Normgruppe von Q_5[\sqrt(2)]

Hallo liebe Leute,

ich soll die Normgruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann die quadratischen Erweiterungen.
Nunja, die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ haben ja die Form $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , wobei a und b 5-adische Zahlen sind. Die Norm N eines Elementes ist ja

Zitat:

a^2 -2b^2

.
Nun weiß ich nicht genau, wie ich die Normgruppe bestimmen soll.
$\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ sind doch nun sicherlich als 5-adische Zahlen darzustellen? Das müsste ich doch dann über Faltung machen, oder? Mir scheint dass das nicht die richtige Richtung ist verwirrt

02.07.2021, 11:26

Elvis

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Was ist die Normgruppe ? Sollst du die quadratischen Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ bestimmen ?

Hilft das Quadratische Körpererweiterungen von Q_5 ?

02.07.2021, 13:48

ichbinneu

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Zitat:

Original von Elvis
Was ist die Normgruppe ? Sollst du die quadratischen Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ bestimmen ?
?

Die von Q_5 adjungiert Wurzel 2.
Und die Normgruppe ist auf Wikipedia unter Norm Group beschrieben (kann leider keine Links posten)
Leider ist das auch das einzige dass ich dazu finde.
Also meines Verständnisses nach ist es die Menge aller Normen, welche die Elemente haben können.

02.07.2021, 14:17

Elvis

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Aha, Klassenkörpertheorie ... vermutlich nichttrivial. Helmut Hasse studieren ist kein reines Vergnügen aber immer nützlich. http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002171171

(Ich habe momentan nicht die Nerven dazu.)

03.07.2021, 13:58

Elvis

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Extra für Dich habe ich mir jetzt die beiden Bücher "Algebraische Zahlentheorie" (https://www.amazon.de/gp/product/3540375...0?ie=UTF8&psc=1) und "Klassenkörpertheorie" (https://www.amazon.de/gp/product/3642173...0?ie=UTF8&psc=1) von Jürgen Neukirch gekauft. Mal sehen, ob es etwas nützt - bevor Du jetzt ein schlechtes Gewissen bekommst, ich wollte mir die beiden Bücher sowieso anschaffen.

03.07.2021, 18:08

Elvis

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Das Thema lässt mich nicht mehr los, darum habe ich versucht, mir selbst ein Bild zu machen. Wir wissen, dass 2 und 3 keine Quadrate modulo 5 sind, bekanntlich gibt es also die 5 quadratischen Erweiterungen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt {2}),\mathbb Q_5(\sqrt {3}),\mathbb Q_5(\sqrt {5}),\mathbb Q_5(\sqrt {10}),\mathbb Q_5(\sqrt {15}) \end{eqnarray*}$ . Diese geben Anlass zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=10 \end{eqnarray*}$ biquadratischen, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}=10 \end{eqnarray*}$ triquadratischen, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=5 \end{eqnarray*}$ quadroquadratischen und einem quintoquadratischen Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ . Der Teilkörperverband sieht bestimmt sehr hübsch aus, auf einem DIN A6 Blatt habe ich ihn fast hinbekommen, aber das kannst du bestimmt besser. (Es scheint so, dass jede biquadratische Erweiterung in drei triquadratischen liegt und jede triquadratische drei biquadratische Erweiterungen enthält. Eine Etage tiefer ist es noch übersichtlicher, jeder quadratische liegt in vier biquadratischen Erweiterungen und jede biquadratische Erweiterung enthält offenbar zwei quadratische Erweiterungen. Weiter oben habe ich mich verhaspelt und ganz oben wird es trivial.) Und dann bleibt die Frage, ob damit die Aufgabe richtig und vollständig bearbeitet ist und was das mit der Normgruppe zu tun hat ...

03.07.2021, 22:03

Elvis

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Oder stimmt das alles gar nicht und es gibt bis auf Isomorphie nur 3 verschiedene quadratische Erweiterungen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Nachtrag: Laut Alain M. Robert "A Course in p-adic Analysis" gibt es tatsächlich bis auf Isomorphie genau drei verschiedene quadratische Erweiterungen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p, p\ne 2 \end{eqnarray*}$ . Wie ein Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ konkret aussieht, weiß ich aber auch nicht.

Noch zu beantworten: Was bedeutet das für quadratische Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2021, 20:50

ichbinneu

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Lieber Elvis,

bitte entschuldige, dass ich mich hier nicht mehr gemeldet habe. Ich denke, ich werde mir jetzt mal hier einen Account zulegen, damit ich auch per e-Mail darauf hingewiesen werde, denn ich weiß deine Mühe sehr zu schätzen. Die Aufgabe ist tatsächlich noch akut, gerade bin ich aber mitten in einem anderen Thema. Unser Prof hat uns nun noch mit auf den Weg gegeben, dass man sich in den entstehenden Normen das Glied mit dem niedrigsten Index anschauen sollte.
Dazu werde ich morgen nochmal meine Gedanken aufschreiben und würde mich sehr freuen, wenn wir wieder in den Dialog treten könnten smile

Nochmals vielen Dank!

09.07.2021, 17:13

ichbinneu

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Also, ich habe ja $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2 \end{eqnarray*}$ 5-adisch darzustellen.
Mein Ansatz ist $\begin{eqnarray*} a = \sum\limits_{k=-n}^{\infty}a_k5^k, b = a = \sum\limits_{k=-m}^{\infty}b_k5^k \end{eqnarray*}$
Also sind $\begin{eqnarray*} a^2 = \sum\limits_{k=-2n}^{\infty}5^k\sum\limits_{j=-2n}^{k}a_ka_{j-k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 = \sum\limits_{k=-2m}^{\infty}5^k \sum\limits_{j=-2m}^{k}b_kb_{j-k} \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} M = \min\{-2n, -2m\} \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2 = \sum\limits_{k=M}^{\infty}5^k\sum\limits_{j=M}^{k}(a_ka_{j-k} - 2b_kb_{j-k}) \end{eqnarray*}$ .
Nun meinte unser Prof, man solle sich mal die p-adische Bewertung anschauen, insbesondere die des ersten Gliedes.
Leider weiß ich wirklich nicht, auf welche Fährte mich das führen soll verwirrt

15.07.2021, 22:01

Malcang

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Hallo Elvis,

also wir haben die Aufgabe nun gelöst.
Mein Ansatz, den Term $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2 \end{eqnarray*}$ 5-adisch darzustellen war korrekt. Es ging dann darum zu schauen, ob $\begin{eqnarray*} a^2 \equiv 2b^2 \pmod 5 \end{eqnarray*}$ lösbar ist.
Falls dem so wäre, hätte sich das erste Glied weggehoben. Da es aber nicht so ist, hat also jedes Element in $\begin{eqnarray*} Q_5 [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ eine gerade 5-adische Bewertung.

Falls ich die Frage missverständlich gestellt haben sollte, tut mir das leid. Ich tue mir mit diesem Thema leider immer noch sehr schwer.

Außerdem soll nun die Rückrichtung noch gezeigt werden.
Würdest du mir dabei vielleicht nochmal unter die Arme greifen?

Liebe Grüße
ichwarneu

16.07.2021, 11:37

Elvis

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Tut mir leid, ich tue mich auch schwer. Ich verstehe die Lösung nicht und weiß auch nicht, was du mit Rückrichtung meinst.

16.07.2021, 13:34

Malcang

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Guten Tag Elvis,

also die Lösung ist diese:
Sei $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q_5[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Norm $\begin{eqnarray*} N(q) = a^2-2b^2 \end{eqnarray*}$ .
Es ist nun $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2 = \sum\limits_{k=-2n}^{\infty}5^k(\sum\limits_{i+j = k}a_ia_j - 2b_ib_j) = 5^{-2n}(a_{-2n}^2-2b_{-2n}^2) + \sum\limits_{k=-2n+1}^{\infty}5^k(\sum\limits_{i+j = k}a_ia_j - 2b_ib_j) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} a^2\not\equiv 2b^2 \pmod 5 \end{eqnarray*}$ verschwindet der erste Summand nicht und man erhält die 5-adische Bewertung 2n.
Also ist jedes Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ von gerade Bewertung.

Die Rückrichtung ist zu zeigen, dass jede Zahl mit gerade 5-adischer Bewertung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ liegt.

16.07.2021, 13:52

Elvis

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Wie hängt das mit der Aufgabe zusammen ? Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 5) \end{eqnarray*}$ zwei nichtisomorphe quadratische Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ sind, ist dann nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2,\sqrt 5) \end{eqnarray*}$ eine quadratische Erweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ ?

17.07.2021, 13:26

Malcang

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Ich denke mir fehlt die Erfahrung und das Verständnis, aber ich weiß nicht, wie deine Frage gerade zu der Aufgabe passt? verwirrt